高中数学知识点总结

2020-07-30 高中数学知识点总结高三数学知识点

小学数学知识点总结。

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小学数学知识点总结

1

归一问题

【含义】

在解题时，先求出一份是多少(即单一量)，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】

总量份数=1份数量

1份数量所占份数=所求几份的数量

另一总量(总量份数)=所求份数

【解题思路和方法】

先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1

买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱?

解

(1)买1支铅笔多少钱?0.65=0.12(元)

(2)买16支铅笔需要多少钱?0.1216=1.92(元)

列成综合算式0.6516=0.1216=1.92(元)

答：需要1.92元。

例2

3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷?

解

(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷?9033=10(公顷)

(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷?1056=300(公顷)

列成综合算式903356=1030=300(公顷)

答：5台拖拉机6天耕地300公顷。

例3

5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次?

解

(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材?10054=5(吨)

(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材?57=35(吨)

(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次?10535=3(次)

列成综合算式105(100547)=3(次)

答：需要运3次。

2

归总问题

【含义】

解题时，常常先找出总数量，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓总数量是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

【数量关系】

1份数量份数=总量

总量1份数量=份数

总量另一份数=另一每份数量

【解题思路和方法】

先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例1

服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套?

解

(1)这批布总共有多少米?3.2791=2531.2(米)

(2)现在可以做多少套?2531.22.8=904(套)

列成综合算式3.27912.8=904(套)

答：现在可以做904套。

例2

小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》?

解

(1)《红岩》这本书总共多少页?2412=288(页)

(2)小明几天可以读完《红岩》?28836=8(天)

列成综合算式241236=8(天)

答：小明8天可以读完《红岩》。

例3

食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天?

解

(1)这批蔬菜共有多少千克?5030=1500(千克)

(2)这批蔬菜可以吃多少天?1500(50+10)=25(天)

列成综合算式5030(50+10)=150060=25(天)

答：这批蔬菜可以吃25天。

3

和差问题

【含义】

已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】

大数=(和+差)2

小数=(和-差)2

【解题思路和方法】

简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。

例1

甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人?

解

甲班人数=(98+6)2=52(人)

乙班人数=(98-6)2=46(人)

答：甲班有52人，乙班有46人。

例2

长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。

解

长=(18+2)2=10(厘米)

宽=(18-2)2=8(厘米)

长方形的面积=108=80(平方厘米)

答：长方形的面积为80平方厘米。

例3

有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解

甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知

甲袋化肥重量=(22+2)2=12(千克)

丙袋化肥重量=(22-2)2=10(千克)

乙袋化肥重量=32-12=20(千克)

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

例4

甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐?

解

从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是(142+3)，甲与乙的和是97，因此甲车筐数=(97+142+3)2=64(筐)

乙车筐数=97-64=33(筐)

答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。

4

和倍问题

【含义】

已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】

总和(几倍+1)=较小的数

总和-较小的数=较大的数

较小的数几倍=较大的数

【解题思路和方法】

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵?

解

(1)杏树有多少棵?248(3+1)=62(棵)

(2)桃树有多少棵?623=186(棵)

答：杏树有62棵，桃树有186棵。

例2

东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨?

解

(1)西库存粮数=480(1.4+1)=200(吨)

(2)东库存粮数=480-200=280(吨)

答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。

例3

甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍?

解

每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍，

那么，几天以后甲站的车辆数减少为

(52+32)(2+1)=28(辆)

所求天数为(52-28)(28-24)=6(天)

答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

例4

甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少?

解

乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。

因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍;

又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍;

这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么，

甲数=(170+4-6)(1+2+3)=28

乙数=282-4=52

丙数=283+6=90

答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。

5
差倍问题

【含义】

已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】

两个数的差(几倍-1)=较小的数

较小的数几倍=较大的数

【解题思路和方法】

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵?

解

(1)杏树有多少棵?124(3-1)=62(棵)

(2)桃树有多少棵?623=186(棵)

答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

例2

爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁?

解

(1)儿子年龄=27(4-1)=9(岁)

(2)爸爸年龄=94=36(岁)

答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。

例3

商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元?

解

如果把上月盈利作为1倍量，则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍，因此

上月盈利=(30-12)(2-1)=18(万元)

本月盈利=18+30=48(万元)

答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。

例4

粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍?

解

由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相当于(3-1)倍，因此

剩下的小麦数量=(138-94)(3-1)=22(吨)

运出的小麦数量=94-22=72(吨)

运粮的天数=729=8(天)

答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

6

倍比问题

【含义】

有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

【数量关系】

总量一个数量=倍数

另一个数量倍数=另一总量

【解题思路和方法】

先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

例1

100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少?

解

(1)3700千克是100千克的多少倍?3700100=37(倍)

(2)可以榨油多少千克?4037=1480(千克)

列成综合算式40(3700100)=1480(千克)

答：可以榨油1480千克。

例2

今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵?

解

(1)48000名是300名的多少倍?48000300=160(倍)

(2)共植树多少棵?400160=64000(棵)

列成综合算式400(48000300)=64000(棵)

答：全县48000名师生共植树64000棵。

例3

凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元?

解

(1)800亩是4亩的几倍?8004=200(倍)

(2)800亩收入多少元?11111200=2222200(元)

(3)16000亩是800亩的几倍?16000800=20(倍)

(4)16000亩收入多少元?222220020=44444000(元)

答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。

相遇问题

【含义】

两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】

相遇时间=总路程(甲速+乙速)

总路程=(甲速+乙速)相遇时间

【解题思路和方法】

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1

南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇?

解

392(28+21)=8(小时)

答：经过8小时两船相遇。

例2

小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间?

解

第二次相遇可以理解为二人跑了两圈。

因此总路程为4002

相遇时间=(4002)(5+3)=100(秒)

答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。

例3

甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

解

两人在距中点3千米处相遇是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是(32)千米，因此，

相遇时间=(32)(15-13)=3(小时)

两地距离=(15+13)3=84(千米)

答：两地距离是84千米。

8
追及问题

【含义】

两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】

追及时间=追及路程(快速-慢速)

追及路程=(快速-慢速)追及时间

【解题思路和方法】

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马?

解

(1)劣马先走12天能走多少千米?7512=900(千米)

(2)好马几天追上劣马?900(120-75)=20(天)

列成综合算式7512(120-75)=90045=20(天)

答：好马20天能追上劣马。

例2

小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解

小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用[40(500200)]秒，所以小亮的速度是

(500-200)[40(500200)]

=300100=3(米)

答：小亮的速度是每秒3米。

例3

我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人?

解

敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时，这段时间敌人逃跑的路程是[10(22-6)]千米，甲乙两地相距60千米。由此推知

追及时间=[10(22-6)+60](30-10)

=22020=11(小时)

答：解放军在11小时后可以追上敌人。

例4

一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

解

这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(162)千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，

这个时间为162(48-40)=4(小时)

所以两站间的距离为(48+40)4=352(千米)

列成综合算式(48+40)[162(48-40)]

=884

=352(千米)

答：甲乙两站的距离是352千米。

9

植树问题

【含义】

按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】

线形植树棵数=距离棵距+1

环形植树棵数=距离棵距

方形植树棵数=距离棵距-4

三角形植树棵数=距离棵距-3

面积植树棵数=面积(棵距行距)

【解题思路和方法】

先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例1

一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳?

解

1362+1=68+1=69(棵)

答：一共要栽69棵垂柳。

例2

一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树?

解

4004=100(棵)

答：一共能栽100棵白杨树。

例3

一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯?

解

22048-4=110-4=106(个)

答：一共可以安装106个照明灯。

例4

给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖?

解

96(0.60.4)=960.24=400(块)

答：至少需要400块地板砖。

例5

一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯?

解

(1)桥的一边有多少个电杆?50050+1=11(个)

(2)桥的两边有多少个电杆?112=22(个)

(3)大桥两边可安装多少盏路灯?222=44(盏)

答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。

10
年龄问题

【含义】

这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】

年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住年龄差不变这个特点。

【解题思路和方法】

可以利用差倍问题的解题思路和方法。

例1

爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?

解

355=7(倍)

(35+1)(5+1)=6(倍)

答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，

明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

例2

母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍?

解

(1)母亲比女儿的年龄大多少岁?37-7=30(岁)

(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30(4-1)-7=3(年)

列成综合算式(37-7)(4-1)-7=3(年)

答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。

例3

甲对乙说：当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁。求甲乙现在的岁数各是多少?

解

这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：

过去某一年今年将来某一年

甲 □岁 △岁 61岁

乙 4岁 □岁 △岁

表中两个□表示同一个数，两个△表示同一个数。

因为两个人的年龄差总相等：□-4=△-□=61-△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，

因此二人年龄差为(61-4)3=19(岁)

甲今年的岁数为△=61-19=42(岁)

乙今年的岁数为□=42-19=23(岁)

答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。

行船问题

【含义】

行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】

(顺水速度+逆水速度)2=船速

(顺水速度-逆水速度)2=水速

顺水速=船速2-逆水速=逆水速+水速2

逆水速=船速2-顺水速=顺水速-水速2

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时?

解

由条件知，顺水速=船速+水速=3208，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时3208-15=25(千米)

船的逆水速为25-15=10(千米)

船逆水行这段路程的时间为320xx=32(小时)

答：这只船逆水行这段路程需用32小时。

例2

甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间?

解

由题意得甲船速+水速=36010=36

甲船速-水速=36018=20

可见(36-20)相当于水速的2倍，

所以，水速为每小时(36-20)2=8(千米)

又因为，乙船速-水速=36015，

所以，乙船速为36015+8=32(千米)

乙船顺水速为32+8=40(千米)

所以，乙船顺水航行360千米需要

36040=9(小时)

答：乙船返回原地需要9小时。

列车问题

【含义】

这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】

火车过桥：过桥时间=(车长+桥长)车速

火车追及：追及时间=(甲车长+乙车长+距离)

(甲车速-乙车速)

火车相遇：相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)

(甲车速+乙车速)

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?

解

火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。

(1)火车3分钟行多少米?9003=2700(米)

(2)这列火车长多少米?2700-2400=300(米)

列成综合算式9003-2400=300(米)

答：这列火车长300米。

例2

一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米?

解

火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒，所走的路程是(8125)米，这段路程就是(200米+桥长)，所以，桥长为

8125-200=800(米)

答：大桥的长度是800米。

例3

一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间?

解

从追上到追过，快车比慢车要多行(225+140)米，而快车比慢车每秒多行(22-17)米，因此，所求的时间为

(225+140)(22-17)=73(秒)

答：需要73秒。

例4

一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间?

解

如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。

150(22+3)=6(秒)

答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。

时钟问题

【含义】

就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

【数量关系】

分针的速度是时针的12倍，

二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】

变通为追及问题后可以直接利用公式。

例1

从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合?

解

钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格;时针每小时走5格，每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以

分针追上时针的时间为20(1-1/12)22(分)

答：再经过22分钟时针正好与分针重合。

例2

四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角?

解

钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候，分针在时针后(54)格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走(54-15)格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走(54+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。

(54-15)(1-1/12)6(分)

(54+15)(1-1/12)38(分)

答：4点06分及4点38分时两针成直角。

例3

六点与七点之间什么时候时针与分针重合?

解

六点整的时候，分针在时针后(56)格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。

(56)(1-1/12)33(分)

答：6点33分的时候分针与时针重合。

盈亏问题

【含义】

根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余(盈)，一次不足(亏)，或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】

一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总人数=(盈+亏)分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数=(大盈-小盈)分配差

参加分配总人数=(大亏-小亏)分配差

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?

解

按照参加分配的总人数=(盈+亏)分配差的数量关系：

(1)有小朋友多少人?(11+1)(4-3)=12(人)

(2)有多少个苹果?312+11=47(个)

答：有小朋友12人，有47个苹果。

例2

修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天;如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米?

解

题中原定完成任务的天数，就相当于参加分配的总人数，按照参加分配的总人数=(大亏-小亏)分配差的数量关系，可以得知

原定完成任务的天数为

(2608-3004)(300-260)=22(天)

这条路全长为300(22+4)=7800(米)

答：这条路全长7800米。

例3

学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人;如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车?多少人?

解

本题中的车辆数就相当于参加分配的总人数，于是就有

(1)有多少车?(30-0)(45-40)=6(辆)

(2)有多少人?406+30=270(人)

答：有6辆车，有270人。

工程问题

【含义】

工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出一项工程、一块土地、一条水渠、一件工作等，在解题时，常常用单位1表示工作总量。

【数量关系】

解答工程问题的关键是把工作总量看作1，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几)，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量=工作效率工作时间

工作时间=工作量工作效率

工作时间=总工作量(甲工作效率+乙工作效率)

【解题思路和方法】

变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1

一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成?

解

题中的一项工程是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位1。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15;两队合做，每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。

由此可以列出算式：1(1/10+1/15)=11/6=6(天)

答：两队合做需要6天完成。

例2

一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个?

解一

设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成(1/6-1/8)，二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要[1(1/6+1/8)]小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以

(1)每小时甲比乙多做多少零件?

24[1(1/6+1/8)]=7(个)

(2)这批零件共有多少个?

7(1/6-1/8)=168(个)

答：这批零件共有168个。

解二

上面这道题还可以用另一种方法计算：

两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3

由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7

所以，这批零件共有241/7=168(个)

例3

一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成?

解

必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是

6012=56010=66015=4

因此余下的工作量由乙丙合做还需要

(60-52)(6+4)=5(小时)

答：还需要5小时才能完成。

例4

一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管?

解：

注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。

要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。

我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为(145)，2个进水管15小时注水量为(1215)，从而可知

每小时的排水量为(1215-145)(15-5)=1

即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知

一池水的总工作量为145-15=15

又因为在2小时内，每个进水管的注水量为12，

所以，2小时内注满一池水

至少需要多少个进水管?(15+12)(12)

=8.59(个)

答：至少需要9个进水管。

正反比例问题

【含义】

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定)，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

【数量关系】

判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

【解题思路和方法】

解决这类问题的重要方法是：把分率(倍数)转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1

修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米?

解

由条件知，公路总长不变。

原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12

现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12

比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于(4-3)份，从而知公路总长为300(4-3)12=3600(米)

答：这条公路总长3600米。

例2

张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题?

解

做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系

设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X

28X=914X=91428X=13

答：91分钟可以做13道应用题。

例3

孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完?

解

书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系

设X天可以看完，就有24∶36=X∶15

36X=2415X=10

答：10天就可以看完。

按比例分配问题

【含义】

所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】

从条件看，已知总量和几个部分量的比;从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和

【解题思路和方法】

先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母，比的前后项分别作分子)，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1

学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵?

解

总份数为47+48+45=140

一班植树56047/140=188(棵)

二班植树56048/140=192(棵)

三班植树56045/140=180(棵)

答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2

用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?

解

3+4+5=12603/12=15(厘米)

604/12=20(厘米)

605/12=25(厘米)

答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

例3

从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。

解

如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到

1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2

9+6+2=17179/17=9

176/17=6172/17=2

答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。

例4

某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人?

解

80(12-8)(8+12+21)=820(人)

答：三个车间一共820人。

百分数问题

【含义】

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需;分数既可以表示率，也可以表示量，而百分数只能表示率;分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号%。

在实际中和常用到百分点这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

【数量关系】

掌握百分数、标准量比较量三者之间的数量关系：

百分数=比较量标准量

标准量=比较量百分数

【解题思路和方法】

一般有三种基本类型：

(1)求一个数是另一个数的百分之几;

(2)已知一个数，求它的百分之几是多少;

(3)已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1

仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几?

解

(1)用去的占720(720+6480)=10%

(2)剩下的占6480(720+6480)=90%

答：用去了10%，剩下90%。

例2

红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几?

解

本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以(525-420)525=0.2=20%

或者1-420525=0.2=20%

答：男职工人数比女职工少20%。

例3

红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几?

解

本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此

(525-420)420=0.25=25%

或者525420-1=0.25=25%

答：女职工人数比男职工多25%。

例4

红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?

解

(1)男职工占420(420+525)=0.444=44.4%

(2)女职工占525(420+525)=0.556=55.6%

答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。

牛吃草问题

【含义】

牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫牛顿问题。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】

草总量=原有草量+草每天生长量天数

【解题思路和方法】

解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1

一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?

解

草是均匀生长的，所以，草总量=原有草量+草每天生长量天数。求多少头牛5天可以把草吃完，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：

(1)求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即(11020);另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

11020=原有草量+20天内生长量

同理11510=原有草量+10天内生长量

由此可知(20-10)天内草的生长量为

11020-11510=50

因此，草每天的生长量为50(20-10)=5

(2)求原有草量

原有草量=10天内总草量-10内生长量=11510-510=100

(3)求5天内草总量

5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+55=125

(4)求多少头牛5天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。

因此5天吃完草需要牛的头数1255=25(头)

答：需要5头牛5天可以把草吃完。

例2

一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完;如果只有5人淘

水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?

解

这是一道变相的牛吃草问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数(相当于牛数)，求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：

(1)求每小时进水量

因为，3小时内的总水量=1123=原有水量+3小时进水量

10小时内的总水量=1510=原有水量+10小时进水量

所以，(10-3)小时内的进水量为1510-1123=14

因此，每小时的进水量为14(10-3)=2

(2)求淘水前原有水量

原有水量=1123-3小时进水量=36-23=30

(3)求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2)，所以17人淘完水的时间是

30(17-2)=2(小时)

答：17人2小时可以淘完水。

鸡兔同笼问题

【含义】

这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】

第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有

兔数=(实际脚数-2鸡兔总数)(4-2)

假设全都是兔，则有

鸡数=(4鸡兔总数-实际脚数)(4-2)

第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有

兔数=(2鸡兔总数-鸡与兔脚之差)(4+2)

假设全都是兔，则有

鸡数=(4鸡兔总数+鸡与兔脚之差)(4+2)

【解题思路和方法】

解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡;如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。

例1

长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡?

解

假设35只全为兔，则

鸡数=(435-94)(4-2)=23(只)

兔数=35-23=12(只)

也可以先假设35只全为鸡，则

兔数=(94-235)(4-2)=12(只)

鸡数=35-12=23(只)

答：有鸡23只，有兔12只。

例2

2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩?

解

此题实际上是改头换面的鸡兔同笼问题。每亩菠菜施肥(12)千克与每只鸡有两个脚相对应，每亩白菜施肥(35)千克与每只兔有4只脚相对应，16亩与鸡兔总数相对应，9千克与鸡兔总脚数相对应。假设16亩全都是菠菜，则有

白菜亩数=(9-1216)(35-12)=10(亩)

答：白菜地有10亩。

例3

李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?

解

此题可以变通为鸡兔同笼问题。假设45本全都是日记本，则有

作业本数=(69-0.7045)(3.20-0.70)=15(本)

日记本数=45-15=30(本)

答：作业本有15本，日记本有30本。

例4

(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只?

解

假设100只全都是鸡，则有

兔数=(2100-80)(4+2)=20(只)

鸡数=100-20=80(只)

答：有鸡80只，有兔20只。

例5

有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人?

解

假设全为大和尚，则共吃馍(3100)个，比实际多吃(3100-100)个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以小换大，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此，共有小和尚

(3100-100)(3-1/3)=75(人)

共有大和尚100-75=25(人)

答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

方阵问题

【含义】

将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】

(1)方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数=(每边人数-1)4

每边人数=四周人数4+1

(2)方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数=每边人数每边人数

空心方阵：总人数=(外边人数)?-(内边人数)?

内边人数=外边人数-层数2

(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数=(每边人数-层数)层数4

【解题思路和方法】

方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1

在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人?

解

2222=484(人)

答：参加体操表演的同学一共有484人。

例2

有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。

解

10-(10-32)?

=84(人)

答：全方阵84人。

例3

有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人?

解

(1)中空方阵外层每边人数=524+1=14(人)

(2)中空方阵内层每边人数=284-1=6(人)

(3)中空方阵的总人数=1414-66=160(人)

答：这队学生共160人。

例4

一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个?

解

(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)

(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)2=7(只)

(3)原有棋子数=77-9=40(只)

答：棋子有40只。

例5

有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?

解

第一种方法：1+2+3+4+5=15(棵)

第二种方法：(5+1)52=15(棵)

答：这个三角形树林一共有15棵树。

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小学英语必考知识点总结

我 (I) 用 am ,你 (you) 用 are , is 跟着他 (he) ,她 (she) ,他 (it) 。

单数名词用 is，复数名词全用 are 。

变否定，更容易，be 后 not 加上去。

变疑问，往前提，句末问号某丢弃。

还有一条须注意，句首大写莫忘记。

this 和 that 是指示代词，it 是人称代词。

距离说话人近的人或者物用 this ，距离说话人远的人或物用 that 。

如：

-This is a floiss Green? 喂，是格林小姐吗?

-Yes,this is.y bed. That is Lilys bed. 这是我的床。那是莉莉的床。

-These pictures are good. 那些画很好。

- Are those apple trees? 那些是苹果树吗?

在回答主语是 these 或 those 的疑问句时，通常用 they 代替 these 或 those 以避免重复。

如：

-Are these / those your apples? 这些(那些)是你的苹果吗?

-Yes, they are. 是的，他们是。

-Jims coat. 吉姆的外套

-Jeffs mother. 杰夫的妈妈

以s结尾的复数名词，只加

-Teachers Day 教师节

-the tay，2003 (2003年5月10日)

英语日期前介词的使用：若指在哪一年或哪一月，则用介词 in，若具体到某一天，则需用介词 on。

9时间的表达法

直读式，即直接读出时间数字。

-7:05 seven five

-8:16 eight sixteen

过、差式，即几点差几分，几点过几分。

(以30分为分界线)

-1:25 t. 上午6点

-8:20 p.m. 下午8点20分

24小时制。

-13:00 13点钟

-22:15 22点15分

15分可用quarter 。

-4:15 a quarter past four

-5:45 a quarter to six

时间前通常用at。

-at 5 oclock

-at 7:30 p.m.

10o , he doesnt.

高中数学数列知识点总结

篇一：高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳

1. 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sn?

?a1?an?n?na

n?n?1?

d 2

性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m?1

bmT2m?1

（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界

项，

?an?0

即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.

a?0?n?1?a?0

当a1?0，d?0，由?n可得Sn达到最小值时的n值.

?an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?

，有

S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)

S偶?S奇?nd，

S奇S偶

. an?1

，有

（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an?

S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)， S奇?SS奇偶?an，

nn?1

. 偶

2. 等比数列的定义与性质

定义：

an?1

?q（q为常数，q?0），an?1an?a1qn

. 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?

xy，或G?

?na1(q?1)前n项和：S?

n???

a1?1?qn?（要注意！）

?1?q

(q?1)性质：?an?是等比数列

（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq

（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？

n?1时，a1?S1；

n?2时，an?Sn?Sn?1.

3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法

如：数列?a12?11

n?，a122a2?……?2

nan?2n?5，求an

解 n?1时，1

2a1?2?1?5，∴a1?14 n?2时，12a?11

122a2?……?2

n?1an?1?2n?1?5 ①—②得：1n?1

?14(n?1)2nan?2，∴an?2，∴an???

2n?1(n?2) ［练习］数列?a5

n?满足Sn?Sn?1?3

an?1，a1?4，求an

注意到aSn?1

n?1?Sn?1?Sn，代入得

S?4又S1?4，∴?Sn?是等比数列，n

；

①

②

Sn?4n

n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3·4n?1

（2）叠乘法

an 如：数列?an?中，a1?3n?1?，求an

ann?1

解

3aa1a2a312n?1

，∴n?又a1?3，∴an?……n?……

n. a1na1a2an?123n

（3）等差型递推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

a3?a2?f(3)??

n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)

…………?an?an?1?f(n)??

a2?a1?f(2)

∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) ［练习］数列?an?中，a1?1，an?3（4）等比型递推公式

n?1

?an?1?n?2?，求an（

an?

3?1??2）

an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）

可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?

ddd??

，c为公比的等比数列，∴?an??是首项为a1?

c?1c?1c?1??

∴an?

dd?n?1d?n?1d??

，∴ ??a1?·ca?a?c?n??1?

c?1?c?1?c?1?c?1?

（5）倒数法如：a1?1，an?1?

2an

，求an an?2

由已知得：

a?2111111?n??，∴?? an?12an2anan?1an2

?1?11111

·??n?1?， ∴??为等差数列，?1，公差为，∴?1??n?1?

2a1an22?an?

∴an?( 附：

2n?1

公式法、利用

an?

S1(n?1)

Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比

an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法

)

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求?

k?1akak?1

解：由

111?11?

??????d?0?

ak·ak?1akak?dd?akak?1?

?111?11?1??11??11?1??

?????????……??∴???????? ??

ak?1?d??a1a2??a2a3?k?1akak?1k?1d?ak?anan?1??

1?11?

??? d?a1an?1?

［练习］求和：1?

111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n

an?……?……，Sn?2?

n?1

（2）错位相减法

若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由

Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.

如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1

①

x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn ①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn

②

x?1时，Sn

1?x?nx???

?1?x?

1?x

，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?

n?n?1?

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

Sn?a1?a2?……?an?1?an?

?相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…

Sn?an?an?1?……?a2?a1?

［练习］已知f(x)?，则 2

1?x

?1?

f(1)?f(2)?f???f(3)?

?2??1?

f???f(4)??3?

?1?

f????4?

?1???x2x21x??1??由f(x)?f???????12222

x1?x1?x1?x???1?

1????x?

∴原式?f(1)??f(2)?

?(附：

?1???

f?????f(3)??2????1???

f?????f(4)??3???1?1??1

f?????1?1?1?3

2?4??2

a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写

与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条

篇二：高中数学数列知识点总结

五、数列

一、数列定义：

数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集N*（或它的有限子集{1,2,3,?,n}）上的函数f(n)，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为通常用an代替f(n)，于是数列的一般形式常记为a1,a2,?或简记为{an}，f(1),f(2),?；

其中an表示数列{an}的通项。

注意：（1）{an}与an是不同的概念，{an}表示数列a1,a2,?，而an表示的是数列的第n项；

（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，

它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。 S1(n?1)?

（3）anSnan??

S?S(n?2)n?1?n

如：已知{an}的Sn满足lg(Sn?1)?n(n?N)，求an。

二、等差数列、等比数列的性质：

如：（1）在等差数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n?

（2）在等比数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n? 另外，等差数列中还有以下性质须注意：

（1）等差数列{an}中，若an?m,am?n(m?n)，则am?n? （2）等差数列{an}中，若Sn?m,Sm?n(m?n)，则Sm?n?

（3）等差数列{an}中，若Sn?Sm(m?n)，则am?1?am?2???an?；Sm?n? ；（4）若Sp?Sq，则n?时，Sn最大。（5）若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，

则

ambm

?S______T______

；

ambn

S______T______

（6）项数为偶数2n的等差数列{an}，有S2n?

间的两项）

S偶?S奇?n(a1?a2n)

(an?an?1)（an与an?1为中

S奇S偶

项数为奇数2n?1的等差数列{an}，有S2n?1?(2n?1)an（an为中间项）

S奇?S偶?S奇S偶

?S奇?S偶?

等比数列中还有以下性质须注意：

（1）若{an}是等比数列，则{?an}(??0)，{|an|}也是等比数列，公比分别

（2）若{an}是等比数列，则{三、判定方法：

（1）等差数列的判定方法：

1an

，{an}也是等比数列，公比分别；；

①定义法：an?1?an?d或an?an?1?d(n?2)（d为常数）?{an}是等差数列 ②中项公式法：2an?1?an?an?2?{an}是等差数列

③通项公式法：an?pn?q（p,q为常数）?{an}是等差数列 ④前n项和公式法：Sn?An2?Bn（A,B为常数）?{an}是等差数列注意：①②是用来证明{an}（2）等比数列的判定方法：

①定义法：

an?1an

?q或

anan?1

?d(n?2)（q是不为零的常数）?{an}是等比数列

②中项公式法：an?1?an?an?2(anan?1an?2?0)?{an}是等差数列

③通项公式法：an?cq（c,q是不为零常数）?{an}是等差数列

④前n项和公式法：Sn?kq?k（k?

a1q?1

是常数）?{an}是等差数列

注意：①②是用来证明{an}四、数列的通项求法：（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，…… （2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。

①递推式为an?1?an?d及an?1?qan（d,q为常数）：直接运用等差（比）数列。 ②递推式为an?1?an?f(n)：迭加法如：已知{an}中a1?

，an?1?an?

14n?1

，求an

③递推式为an?1?f(n)an：迭乘法如：已知{an}中a1?2，an?1?

n?1n

an，求an

④递推式为an?1?pan?q（p,q为常数）：

?an?1?pan?q

构造法：Ⅰ、由?相减得(an?2?an?1)?p(an?1?an)，则

a?pa?qn?1?n?2

{an?1?an}为等比数列。

Ⅱ、设(an?1?t)?p(an?t)，得到pt?t?q，t?

为等比数列。

如：已知a1?1,an?1?2an?5，求an ⑤递推式为an?1?pan?qn（p,q为常数）：

两边同时除去qn?1得再用④法解决。如：已知{an}中，a1?

qp?1

，则{an?

qp?1

an?1q

n?1

anq

，令bn?

anq

，转化为bn?1?

bn?

，

，an?1?

1n?1

an?()，求an 32

⑥递推式为an?2?pan?1?qan（p,q为常数）：

将an?2?pan?1?qan变形为an?2?tan?1?s(an?1?tan)，可得出?

s,t，于是{an?1?tan}是公比为s的等比数列。

?s?t?p?st??q

解出

如：已知{an}中，a1?1,a2?2，an?2?

S1,n?1?

（3）公式法：运用an??

?Sn?Sn?1,n?2

an?1?

an，求an

①已知Sn?3n?5n?1，求an；②已知{an}中， Sn?3?2an，求an；

③已知{an}中，a1?1,an?五、数列的求和法：

2Sn

2Sn?1

(n?2)，求an

（1）公式法：

①等差（比）数列前n项和公式：②1?2?3???n?；

③1?2?3???n?（2）倒序相加（乘）法：

012n

如：①求和：Sn?Cn?2Cn?3Cn???(n?1)Cn；

2222

n(n?1)(2n?1)

；④1?2?3???n?[

3333

n(n?1)

]

篇三：高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳

1.数列的通项

求数列通项公式的常用方法：

（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与

项数n在变化过程中的联系，初步归纳公式。

（2）公式法：等差数列与等比数列。

?S1,(n?1)（3）利用Sn与an的关系求an：an?? S?S,(n?2)n?1?n

2. 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d（d为常数），通项：an?a1??n?1?d?am?(n?m)d

等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y

前n项和Sna1?an?n???na2n?n?1?d 1?2

性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，

Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d

Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，

?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值. ?an?1?0

?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值. a?0?n?1

（3）{kan}也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.

(5)a1?a2???am,am?1?am?1???a2m,a2m?1?a2m?1???a3m?仍成等差数列.

(8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；

3. 等比数列的定义与性质

定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1?amqn?m .an

等比中项：x、G、y成等比数列?G2?

xy，或G?

前n项和：

?na1 (q?1)?na1 (q?1)??Sn??a1?anqa1(1?qn)??a1n（要注意！） a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1?q1?q1?q??

性质：?an?是等比数列

（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq

（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn.

注意：由Sn求an时应注意什么？

n?1时，a1?S1；

n?2时，an?Sn?Sn?1.

（3）{|an|}、{kan}成等比数列；{an}、{bn}成等比数列?{anbn}成等比数列.

（4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.

（5）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?成等比数列.

（6）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等比数列，

（7）p?q?m?n?bp?bq?bm?bn；2m?p?q?bm2?bp?bqSm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm.

（8）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。.（9）等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如：?an?是公差为d的等差数列，求?1

k?1akak?1n

解：由

n111?11???????d?0? ak·ak?1akak?dd?akak?1?n?111?11?1??11??11?1??????∴????????????……????? aadaadaaaaaak?1kk?1k?1k?1?2?3?n?1???k?2?n??1

?1?11???? d?a1an?1?

［练习］求和：1?111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n

1an?……?……，Sn?2? n?1

（2）错位相减法

若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.

如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1

① x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn

①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn

x?1时，Sn ② ?1?x??nx?nn

?1?x?21?x，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?n?n?1? 2

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

Sn?a1?a2?……?an?1?an??相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?… Sn?an?an?1?……?a2?a1?

高中数学必修二知识点总结

篇一：高一数学必修2知识点总结

高中数学必修2知识点

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k?tan?。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当???0?,90??时，k?0；当???90?,180??时，k?0；当??90?时，k不存在。

y?y1

(x1?x2) ②过两点的直线的斜率公式：k?2

x2?x1注意下面四点：(1)当x1?x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与p1、p2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程

①点斜式：y?y1?k(x?x1)直线斜率k，且过点?x1,y1?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：④截矩式：

y?y1y2?y1

xa?y

x?x1x2?x1

（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2?

?1 b

其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

⑤一般式：Ax?By?C?0（A，B不全为0）

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：注意：○

平行于x轴的直线：y?b（b为常数）；平行于y轴的直线：x?a（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系

平行于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：

A0x?B0y?C?0（C为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k的直线系：y?y0?k?x?x0?，直线过定点?x0,y0?；

（ⅱ）过两条直线l1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为

，其中直线l2不在直线系中。 ?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0（?为参数）（6）两直线平行与垂直

当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时， l1//l2?k1?k2,b1?b2；l1?l2?k1k2??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点

l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交交点坐标即方程组??

A1x?B1y?C1?0

的一组解。

?A2x?B2y?C2?0

方程组无解?l1//l2 ；方程组有无数解?l1与l2重合（8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，B是平面直角坐标系中的两个点，

（x2,y2）

则|AB|?

（9）点到直线距离公式：一点p?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

Ax0?By0?C

A?B

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的

半径。

2、圆的方程

（1）标准方程?x?a???y?b??r2，圆心?a,b?，半径为r；

（2）一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0 当D?E

?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为?

1E?，半径为r??

22?

?4F

当D?E?4F?0时，表示一个点；当D?E?4F?0时，方程不表示任何图

形。

（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离为

Aa?Bb?CA?B

，则有d?r?l与C相离；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交

（2）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a???y?b??r2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为?，则有

??0?l与C相离；??0?l与C相切；??0?l与C相交

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0?yy0?r去解直线与圆相切的问题，其中?x0,y0?表示切点坐标，r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：

①圆x2+y2=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0?yy0?r (课本命题)．

2222

②圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r (课本命题的推广)．

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆C1:?x?a1?2??y?b1?2?r2，C2:?x?a2?2??y?b2?2?R2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当d?R?r时两圆外离，此时有公切线四条；

当d?R?r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当R?r?d?R?r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当d?R?r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当d?R?r时，两圆内含；当d?0时，为同心圆。

三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共

边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE?ABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且

相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥p?ABCDE

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到

截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台p?ABCDE

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图

是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何

体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）

S直棱柱侧面积

S正棱台侧面积

?12

?chS圆柱侧?2?rh S正棱锥侧面积

(c1?c2)h S圆台侧面积?(r?R)?l

chS圆锥侧面积

??rl

S圆柱表?2?r?r?l?S圆锥表??r?r?l? S圆台表???r2?rl?Rl?R2?

（3）柱体、锥体、台体的体积公式 ??V柱?Sh V圆柱?Sh

V台

13(S?

r hV锥?Sh V圆锥?1?r2h

S)hV圆台?

(S?

S)h?

?(r?rR?R)h

（4）球体的表面积和体积公式：V球4、空间点、直线、平面的位置关系

； S

球面

=4?R2

（1）平面

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③ 点与平面的关系：点A在平面?内，记作A??；点A不在平面?内，记作A?? 点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A?l；

直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l?α；直线l不在平面α内，记作l?α。（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：A?l,B?l,A??,B???l?? （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：p?A?B?A?B?l,p?l 公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。 ②求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点．

篇二：高一数学必修2知识点总结人教版

高中数学必修二复习

基本概念

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：

空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点—— 平行或异面

直线和平面的位置关系：

直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量)

规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]

最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

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③直线和平面平行——没有公共点

直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

两个平面的位置关系：

（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点（2）两个平面的位置关系：

两个平面平行-----没有公共点；两个平面相交-----有一条公共直线。 a、平行

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。 b、相交二面角

（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°，180°]

（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp. 两平面垂直

两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为 ⊥ 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 Attention：

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）多面体棱柱

棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。棱柱的性质

（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形

（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形

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棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥棱锥的性质：

（1）侧棱交于一点。侧面都是三角形

（2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方正棱锥

正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质：

（1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

（3）多个特殊的直角三角形 esp：

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。 b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表当??0,90

当???90

时，k?0；,180?时，k?0；

当??90时，k不存在。 ②过两点的直线的斜率公式：k?

y2?y1x2?x1

(x1?x2)

注意下面四点：

(1)当x1?x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与p1、p2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：y?y1?k(x?x1)直线斜率k，且过点?x1,y1?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因

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l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：④截矩式：

y?y1y2?y1

xa?y

x?x1x2?x1

（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2?

?1 b

其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

⑤一般式：Ax?By?C?0（A，B不全为0）

1各式的适用范围注意：○

2特殊的方程如：平行于x轴的直线：y?b（b为常数） ○；

平行于y轴的直线：x?a（a为常数）；

（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系

平行于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：

A0x?B0y?C?0（C为常数）

（二）垂直直线系

垂直于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：

B0x?A0y?C?0（C为常数）

（三）过定点的直线系

① 斜率为k的直线系：y?y0?k?x?x0?，直线过定点?x0,y0?；

② 过两条直线l1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为，其中直线l2不在直线系中。 ?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0（?为参数）

（5）两直线平行与垂直

当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时， l1//l2?k1?k2,b1?b2；l1?l2?k1k2??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（6）两条直线的交点

l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交

交点坐标即方程组?

?A1x?B1y?C1?0?A2x?B2y?C2?0

的一组解。

方程组无解?l1//l2 ；方程组有无数解?l1与l2重合

（7）两点间距离公式：设A(x1,y1)，B是平面直角坐标系中的两个点，

（x2,y2）

则|AB|?

（8）点到直线距离公式：一点p?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d（9）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

圆的方程

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Ax0?By0?C

A?B

（1）标准方程?x?a???y?b??r2，圆心?a,b?，半径为r；

（2）一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0 当D?E

?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为?

1E?，半径为r??

22?

?4F

当D?E?4F?0时，表示一个点；当D?E?4F?0时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离为

Aa?Bb?CA?B

，则有d?r?l与C相离；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2

圆与圆的位置关系

通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

设圆C1:?x?a1???y?b1?2?r2，C2:?x?a2?2??y?b2?2?R2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当d?R?r时两圆外离，此时有公切线四条；

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

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篇三：20xx年高一数学必修二各章知识点总结

数学必修2知识点

1. 多面体的面积和体积公式

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2. 旋转体的面积和体积公式

表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。

3、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.

4、平面的基本性质：

公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

??l,??l,???,????l??

?,?,C三点不共线?有且只有一个平面?,使???,???,C??

公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

??????????l且??l

推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.

公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. a//b,b//c?a//c

5、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

6、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 数学符号表示：a??,b??,a//b?a//?

直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 数学符号表示：a//?,a??,????b?a//b

7、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 数学符号表示：a??,b??,a?b??,a//?,b//???//? （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）平行于同一个平面的两个平面平行.

面面平行的性质定理：

（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面. ?//?,a???a//? （2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. ?//?,????a,????b?a//b

8、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 数学符号表示：m??,n??,m?n??,l?m,l?n?l??

（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. （3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.

直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.

符号表示：a??,a????//? 符号表示：?//?,?//???//?

a//b,a???b??

?//?,a???a??

a??,b???a//b

9、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. a??,a?????? 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 数学符号表示：???,????b,a??,a?b?a??

10、直线的倾斜角和斜率：

（1）设直线的倾斜角为?0???180，斜率为k，则k?tan????

????

（2）当0???90时，k?0；当90???180时，k?0.

?????.当时，斜率不存在. ?22?

（3）过p1(x1,y1)，p2(x2,y2)的直线斜率k?

y2?y1

(x2?x1).

x2?x1

11、两直线的位置关系：

两条直线l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2斜率都存在，则：（1）l1∥l2?k1?k2且b1?b2

（2）l1?l2?k1?k2??1（当l1的斜率存在l2的斜率不存在时l1?l2）（3）l1与l2重合?k1?k2且b1?b2

12、直线方程的形式：

（1）点斜式：y?y0?k?x?x0?（定点，斜率存在）（2）斜截式：y?kx?b（斜率存在，在y轴上的截距）（3）两点式：

y?y1x?x1

?(y2?y1,x2?x1)（两点）（4）一般式：?x??y?C?0???A2?B2?0?

y2?y1x2?x1

（5）截距式：

??1（在x轴上的截距，在y轴上的截距） ab

13、直线的交点坐标：

设l1:A1x?B1y?c1?0,l2:A2x?B2y?c2?0，则：（1）l1与l2相交?

A1B1ABCABC

；（2）l1∥l2 ?1?1?1；（3）l1与l2重合?1?1?1. ?

A2B2A2B2C2A2B2C2

pp?14、两点p1(x1,y1)，p2(x2,y

2)间的距离公式12

原点??0,0?与任一点?

?x,y?的距离Op?

15、点p0(x0,y0)到直线l:?x??y?C?

0的距离d?

l:?x?C?0的距离d?（1）点p0(x0,y0)到直线

Ax0?CABy0?CB（2）点p0(x0,y0)到直线l:?y?C?0的距离d?

（3）点??0,0?到直线l:?x??y?C?

0的距离d?

16、两条平行直线?x??y?C1?0与?x??y?C2?

0间的距离d?

17、过直线l1:A1x?B1y?c1?0与l2:A2x?B2y?c2?0交点的直线方程为

(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?c2)?0???R?

18、与直线l:?x??y?C?0平行的直线方程为?x??y?D?0?C?D? 与直线l:?x??y?C?0垂直的直线方程为?x??y?D?0 19、中心对称与轴对称：

x1?x2?x???02

（1）中心对称：设点p(x1,y1),E(x2,y2)关于点M(x0,y0)对称，则?

y?y2?y?10??2

（2）轴对称：设p(x1,y1),E(x2,y2)关于直线l:?x??y?C?0对称，则： a、B?0时，有

x1?x2y?yCC

??且y1?y2； b、A?0时，有12??且x1?x2 2A2B

?y1?y2B

???x?xA

c、A?B?0时，有?12

?A?x1?x2?B?y1?y2?C?0??22

20、圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2（圆心A?a,b?，半径长为r）圆心O?0,0?，半径长为r的圆的方程x?y?r。

21、点与圆的位置关系：

设圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2，点M(x0,y0)，将M带入圆的标准方程，结果r2在外，r2在内 22、圆的一般方程：x?y?Dx?Ey?F?0D?E?4F?0 （1）当D?E?4F?0时，表示以??

?DE?

,??为半径的圆；

?22?

（2）当D?E?4F?0时，表示一个点??

?DE?22

,??；（3）当D?E?4F?0时，不表示任何图形. ?22?

23、直线与圆的位置关系：

几何角度：圆心到直线的距离与半径大小比较；或代数角度：带入方程组算△0、=0、0 .

24、圆与圆的位置关系：几何角度判断（圆心距与半径和差的关系）

（1）相离?C1C2?r1?r2；（2）外切?C1C2?r1?r2；（3）相交?r1?r2?C1C2?r1?r2；（4）内切?C1C2?r1?r2；（5）内含?C1C2?r1?r2. 25、过两圆

x2?y2?D1x?E1y?F1?0与x2?y2?D2x?E2y?F2?0交点的圆的方程

(x2?y2?D1x?E1y?F)1??(x2?y2?D2x?E2y?F2)?0(???1).

当???1时，即两圆公共弦所在的直线方程.

pp?26、点p1(x1,y1,z1)，p2(x2,y2,z

2)间的距离12

考研数学知识模块大总结

20xx考研数学知识模块大总结

高等数学-五大模块

一

1、一元微积分学;

2、多元微积分学;

3、曲线、曲面积分;

4、无穷级数;

5、微分方程。

这里面的曲线、曲面积分是数一的同学特有的，其他内容是所有考数学的同学都要考查的。

线性代数-三大知识模块

二

1、行列式和矩阵;

2、向量和线性方程组;

3、特征值、特征向量和二次型。

线性代数部分从考纲来看各个卷种的差别不大，近些年的变化也不大，是考研数学相对稳定的一部分考查内容。

概率论与数理统计-三大知识模块

三

1、概率、概率基本性质及简单的概型;

2、随机变量及其分布与数字特征;

3、统计基本概念、参数估计及假设检验;

这部分是数二的同学不要求的，而数一和数三大纲的要求还是有些差距的，比如数一要求假设检验而数三不要求。

★第一个层次是概念、性质、公式、定理及相关知识之间的联系、区别的归纳与总结。

★第二个层次是对题型的归纳总结。

★第三个层次对总结的题型进行解题方法的总结。

★第四个层次找到合适的解题方法，提高解题速度。

考研数学注重对基本计算能力的考察，希望20xx年的考生能够加强对基本计算能力的训练。在考研数学备考的冲刺阶段，结合近年的真题情况，有三点需要考生始终谨记在心：

(1)打牢基本计算基础，对照考纲消灭考试盲点;

(2)多做习题巩固知识点，总结做过题目，补齐知识短板;

(3)紧贴真题，掌握重要考点，提高临战心理素质。

指数对数幂函数知识点总结

篇一：指数、对数、幂函数知识点

指数、对数、幂函数知识归纳

知识要点梳理

知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念

的次方根的定义：一般地，如果

；

当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，

表示为当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子

叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.

；

，那么叫做的

次方根，其中

2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，

；

(2)当为偶数时，

3.分数指数幂的意义：

；

注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：

(1)(2)(3)

知点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念：一般地，函数变量，函数的定义域为

叫做指数函数，其中是自

1.(20xx·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)= ( )

A.ex+1 B.ex-1C.e-x+1 D.e-x-1

2.（20xx·上海高考文科·T8）方程

3.（20xx·湖南高考理科·Ｔ16）设函数

f(x)?ax?bx?cx,其中c?a?0,c?b?0.

的实数解为 . ?1?3x

3?1

且a=b?，（1）记集合M??(a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，

则(a,b,c)?M所对应的f(x)的零点的取值集合为____.

（2）若a,b,c是?ABC的三条边长，则下列结论正确的是. （写出所有正确结论的序号）

①?x????,1?,f?x??0;

②?x?R,使得ax,bx,cx不能构成一个三角形的三边长； ③若?ABC为钝角三角形，则?x??1,2?,使f?x??0.

知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义(1)若叫做底数，

叫做真数.

，则叫做以为底

的对数，记作

，

(2)负数和零没有对数.

(3)对数式与指数式的互化：2.几个重要的对数恒等式：

，

3.常用对数与自然对数：

常用对数：

，即

；自然对数：

，即

(其中

…).

4.对数的运算性质如果

①加法：

，那么

②减法：③数乘：④

⑤

⑥换底公式：

知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义

一般地，函数数的定义域

叫做对数函数，其中是自变量，函

2.对数函数性质：

4.（20xx·广东高考理科·Ｔ2）函数f(x)?

的定义域是（） x?1

A．(?1,??) B．[?1,??) C．(?1,1)(1,??) D．[?1,1)(1,??)

5.（20xx·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( ) A．

logab·logcb?logca

B. logab?logca?logcb

篇二：指数_对数_幂函数必备知识点

几种特殊的函数

知识点一：指数及指数幂的运算

1.根式的概念

的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中

当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.

式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.

2.n次方根的性质：

(1)当为奇数时，；当为偶数时，

(2)

3.分数指数幂的意义：

；

注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质：

(1) (2) (3)

知识点二：指数函数及其性质

1.指数函数概念

一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.

2.指数函数函数性质：

函数

名称

指数函数

定义

函数且叫做指数函数

图象

定义域

值域

过定点

图象过定点，即当时，.

奇偶性

非奇非偶

单调性

在上是增函数

在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对图象的影响

在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.

知识点三：对数与对数运算

1.对数的定义

(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，

叫做真数.

(2)负数和零没有对数.

(3)对数式与指数式的互化：.

2.几个重要的对数恒等式

，，.

3.常用对数与自然对数

常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).

4.对数的运算性质

如果，那么

①加法：

②减法：

③数乘：

④

⑤

⑥换底公式：

知识点四：对数函数及其性质

1.对数函数定义

一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.

2.对数函数性质：

函数

名称

对数函数

定义

函数且叫做对数函数

图象

定义域

值域

过定点

图象过定点，即当时，.

奇偶性

非奇非偶

单调性

在上是增函数

在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对图象的影响

在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.

知识点五：反函数

1.反函数的概念

设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.

2.反函数的性质

(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.

(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.

(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.

(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.

3.反函数的求法

(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；

(2)从原函数式中反解出；

(3)将改写成，并注明反函数的定义域.

知识点六：幂函数

1.幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.

2.幂函数的性质

(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布

在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分

布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数

时，图象只分布在第一象限.

(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过

点.

(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在

上为增函数.如果，则幂函数的图象在

上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.

(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，

幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，

若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，

若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.

(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若

，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若,

其图象在直线下方.

篇三：指数对数幂函数知识点汇总

知识点一：根式、指数幂的运算

1、根式的概念：若x?a，则x叫做a的次方根， n?1,n?N

（1）当n为奇数时，正数的n次方根为正，负数的n次方根为负，记作na；（2）当n为偶数时，正数的n

次方根有两个（互为相反数），记作（3）负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 2、n次方根的性质：（1

）

?an为奇数

． ?a；（2

?|a|n为偶数

3、分数指数幂的意义：（1

）a?；（2

）a

m?n

a?0,m,n?N

,n?1?．

注意：0的正指数幂等于0，负指数幂没有意义. 4、指数幂的运算性质：?a?0,b?0,r,s?R?

rrs

)ras?a? (1a；(2)a

?ars； (3)?ab??arbr

知识点二：对数与对数运算

1、指数式与对数式的互化：a?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)

2、几个重要的对数恒等式

（1）负数和0没有对数；（2）loga1?0（a?1）（3）logaa?1（a?a）；（4）对数恒等式：a3、对数的运算性质

（1）loga(MN)?logaM?logaN；（2）loga

logaN

?logaM-logaN； N

logmN

；

logma

（3）logaM?nlogaM(n?R)；（4）换底公式：logaN?

（5）logab?logba?1 ；（6）logab?logbc?logac ；（7）logab?logbc?logcd?logad ；（8）logambn?n

logab；

知识点四：对数函数及其性质

注：指数函数y?a与对数函数y?logax互为反函数（1）互为反函数的两函数图象关于y?x对称，

即(a,b)在原函数图象上，则(b,a)在其反函数图象上；（2）互为反函数的两函数在各自的定义域上单调性相同。知识点五：复合函数的单调性

1、增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；

2、若g(x)?kf(x)，则k?0时，g(x)与f(x)单调性相同；k?0时，g(x)与f(x) 单调性相反； 3

、若g(x)?4、若g(x)?a

g(x)与f(x)单调性相同（注意f(x)?0）；

f(x)

，则a?1时，g(x)与f(x)单调性相同；0?a?1时，g(x)与f(x)

单调性相反；

5、若g(x)?logaf(x)，则a?1时，g(x)与f(x)单调性相同； 0?a?1时，g(x)与f(x)单调性相反；（注意f(x)?0）知识点六：幂函数及性质

幂函数y?x的性质：（第一象限内）

（1）所有的幂函数在(0,??)都有定义，都过点(1,1)；（2）??0时，在[0,??)上递增，且又都过(0,0)；

??0时，且在(0,??)上递减；

（3）0???1时，图象上凸；??1时，图象下凹；（4）在直线x?1的右侧，指数越大，图象越高。

高中数学必修5知识点总结归纳

篇一：高中数学必修5等比数列知识点总结及题型归纳

等比数列知识点总结及题型归纳

1、等比数列的定义：2、通项公式：

an?a1qn?1?

a1n

q?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?，首项：a1；公比：q

an?q?naman

?q?q?0??n?2,且n?N*?，q称为公比 an?1

推广：an?amqn?m?qn?m?3、等比中项：

（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2?

ab或A?注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?1 4、等比数列的前n项和Sn公式：

（1）当q?1时，Sn?na1 （2）当q?1时，Sn?

a1?1?qn?1?q

a1?anq

1?q

a1a

?1qn?A?A?Bn?ABn?A（A,B,A,B为常数） 1?q1?q

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的n，都有an?1?qan或

an?1

?q(q为常数，an?0)?{an}为等比数列 an

（2）等比中项：an2?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}为等比数列（3）通项公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}为等比数列

6、等比数列的证明方法：

依据定义：若n?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列

an?17、等比数列的性质：

（2）对任何m,n?N*，在等比数列{an}中，有an?amqn?m。

（3）若m?n?s?t(m,n,s,t?N*)，则an?am?as?at。特别的，当m?n?2k时，得an?am?ak2注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???

（4）数列{an}，{bn}为等比数列，则数列{，{k?an}，{ank}，{k?an?bn}，n（k为非零

bnan

常数）均为等比数列。

（5）数列{an}为等比数列，每隔k(k?N*)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等比数列（6）如果{an}是各项均为正数的等比数列，则数列{logaan}是等差数列（7）若{an}为等比数列，则数列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比数列

（8）若{an}为等比数列，则数列a1?a2?????an，an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比数列

a1?0，则{an}为递增数列{（9）①当q?1时，a1?0，则{an}为递减数列

a1?0，则{an}为递减数列{②当0q?1时，a1?0，则{an}为递增数列

③当q?1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当q?0时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列{an}中，当项数为2n(n?N*)时，

S奇1

? S偶q

二、考点分析

考点一：等比数列定义的应用

1、数列?an?满足an??an?1?n?2?，a1?，则a4?_________．

2、在数列?an?中，若a1?1，an?1?2an?1?n?1?，则该数列的通项an?______________．考点二：等比中项的应用

1、已知等差数列?an?的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2?（） A．?4 B．?6C．?8 D．?10 2、若a、b、c成等比数列，则函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交点的个数为（） A．0

B．1 C．2 D．不确定

3、已知数列?an?为等比数列，a3?2，a2?a4?，求?an?的通项公式．

考点三：等比数列及其前n项和的基本运算

291

1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（）

383

A．3 B．4C．5 D．6

2、已知等比数列?an?中，a3?3，a10?384，则该数列的通项an?_________________． 3、若?an?为等比数列，且2a4?a6?a5，则公比q?________． 4、设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则 A．

2a1?a2

的值为（）

2a3?a4

111 B． C． D．1 428考点四：等比数列及其前n项和性质的应用

1、在等比数列?an?中，如果a6?6，a9?9，那么a3为（）

316

C． D．2 29

2、如果?1，a，b，c，?9成等比数列，那么（） A．b?3，ac?9 B．b??3，ac?9 C．b?3，ac??9 D．b??3，ac??9

A．4 B．

3、在等比数列?an?中，a1?1，a10?3，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于（） A．81

．C

D．243

4、在等比数列?an?中，a9?a10?a?a?0?，a19?a20?b，则a99?a100等于（）

b9b10?b??b?A．8B．??C．9D．??

aa?a??a?

5、在等比数列?an?中，a3和a5是二次方程x2?kx?5?0的两个根，则a2a4a6的值为（） A．25

．

．?

6、若?an?是等比数列，且an?0，若a2a4?2a3a5?a4a6?25，那么a3?a5的值等于?S,(n?1)

考点五：公式an??1的应用

?Sn?Sn?1,(n?2)

1．等比数列前n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为( )

A.(2n-1)2 B.(2n-1)2 C.4n-1 D.(4n-1)

2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+r，那么r的值为______________.

3．设数列{an}的前n项和为Sn且S1=3，若对任意的n∈N*都有Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项及递推关系式an+1=f(an); (2)求{an}的通项公式;

(3)求数列{an}的前n项和Sn.

篇二：高中数学必修一至必修五知识点总结完整版

高中数学必修1知识点总结

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ ? } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2．集合的表示方法：列举法与描述法。

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集 N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32}

4、集合的分类：

（1）．有限集含有有限个元素的集合

（2）．无限集含有无限个元素的集合

（3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A? B(或B? A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集与补集

（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

四、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点p(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．集合C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ p(x,y) | y= f(x) , x∈A },图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

(2) 画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点p(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法（请参考必修4三角函数）

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3)作用：

1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。

4．了解区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

5．什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→ B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→ B” 给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应

法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值.

补充一：分段函数（参见课本p24-25）

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g 的复合函数。

例如:y=2sinxy=2cos(2x+1)

7．函数单调性

（1）．增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当ab时，都有f(a)f(b)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）

如果对于区间D上的任意两个自变量的值a，b，当ab 时，都有f(a)＞f(b)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量a，b；当ab时，总有f(a)f(b) 。

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：任取a，b∈D，且ab；2 作差f(a)－f(b)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(a)－f(b)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关

注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

8．函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

（1）、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值.（2）、利用图象求函数的最大（小）值（3）、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

篇三：人教版数学必修五知识点总结

第一章解三角形

1、内角和定理：（1）三角形三角和为?，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．（2）锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正??

2、正弦定理：???2R（R为三角形外接圆的半径）． (1)a:b:c?sinA:sinB:sinC;(2)a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC

（3）解三角形：已知三角形的几个元素求另外几个元素的过程。

可求其它边和角?已知两角和任意一边， ?，可求其它元素?已知两边和一边的对角

注意：已知两边一对角，求解三角形，若用正弦定理，则务必注意可能有两解．

?b2?c2?a2

?cosA?2bc?a2?b2?c2?2bccosA?222a?c?b??2223、余弦定理：（求边）?b?a?c?2accosB 或（求角）?cosB?2ac??c2?a2?b2?2abcosC222??cosC?a?b?c

?2ab?

已知两边一角求第三边??．已知三边求所有三个角（注:常用余弦定理鉴定三角形的类型）??已知两边和一边对角，求其它?

?1?2absinC

?1abc?14、三角形面积公式：S?aha??bcsinA?． 224R??1acsinB??2

5、解三角形应用

（1）在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角。

（2）从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫方位角。

（3）坡面与水平面所成的二面角度数的正切值叫做坡度。

（4）解斜三角形应用题的一般步骤：

分析→建模→求解→检验

第二章数列

1．数列的通项、数列的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的关系：an?,(n?1)?SS?S,(n?2)1

nn?1（必要时请分类讨论）．

注意：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1；an?

2．等差数列{an}中：

（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性． anan?1a ????2?a1．an?1an?2a1

?d?0?数列单调递增?，可知d的取值为d?R. ?d?0?数列为常数列

?d?0?数列单调递减?

（2）an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d；p?q?m?n?ap?aq?am?an．

（3）??1an??2bn?、{kan}也成等差数列．

（4）在等差数列{an}中，若am?n,an?m(m?n),则am?n?0.

（5）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?仍成等差数列．

（6）Sn?n(a1?an)n(n?1)ddSd，Sn?n2?(a1?)n，an?2n?1，，Sn?na1?。 2n?12222

amS2m?1?. bmT2m?1?an??（7）若Sn,Tn分别为等差数列,bn?的前项和，则两数列第m项之比

（8）若?an?为等差数列，则其前m项和、中间m项和、后m项和Sm,S2m?Sm,S3m?S2m成等差数列。

（9）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；

“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和；

（10）两数的等差中项惟一存在．在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解．

（11）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法（也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式）．

3．等比数列{an}中：

（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的单调性．

（2）an?a1qn?1?amqn?m； p?q?m?n?bp?bq?bm?bn．

（3）{an}、{bn}成等比数列{|an|}、an,??a???

a1?、，??{ka}ab??b2

?n?nnn??成等比数列．

?n?n

（4）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?成等比数列．

?na1 (q?1)?na1 (q?1)????a1n（5）Sn??a1?anqa1(1?qn)． a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1?q1?q1?q??

特别：an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b2???abn?2?bn?1)．

（6）若?an?为等比数列，则其前m项和、中间m项和、后m项和Sm,S2m?Sm,S3m?S2m成等比数列。

（7）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；

（8）有限等比数列中，若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和．

（9）等比中项要么不存在，要么仅当实数a,b

同号时存在，且必有一对G?

（10）判定是否是等比数列的方法：定义法、中项法、通项法、和式法。

4．等差数列与等比数列的联系

（1）如果数列{an}成等差数列，那么数列{An}（An总有意义）必成等比数列．

（2）如果数列{an}成等比数列，那么数列{loga|an|}(a?0,a?1)必成等差数列．

（3）如果数列{an}既成等差又成等比，那么数列{an}是非零常数数列；但反之不成立。

（4）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，

5．数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），

②等比数列求和公式（三种形式）， aa

2222③1?2?3???n?n(n?1)，1?2?3???n?n(n?1)(2n?1)，26

1?3?5???(2n?1)?n2，1?3?5???(2n?1)?(n?1)2．

（2）分组求和法：常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．

（3）倒序相加法；（4）错位相减法；

（5）裂项相消法： ①??， ②?(?)，特别声明：?运用等比数列求和公式，务必检查公比与1的关系，必要时分类讨论．

三、不等式

1．（1）求不等式的解集，务必用集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．

（2）解分式不等式f?x??a?a?0?（移项通分，等价为分子分母相乘大于或小于0）； gx（3；

（4）解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论．注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集．

2．利用重要不等式a?b?2ab 以及变式ab?()等求函数的最值时，务必注意a，2

b?R，且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值（一正二定三相等）．

???3．

2??

a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）

4．比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法

5．含绝对值不等式的性质： 222

a、b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；

a、b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|．

6．不等式的恒成立问题

若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A

若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B

《化学反应原理》知识点总结

篇一：《选修4_化学反应原理》焓变知识点总结

【

一、焓变、反应热

要点一：反应热（焓变）的概念及表示方法

化学反应过程中所释放或吸收的能量，都可以用热量来描述，叫做反应热，又称焓变，符号为ΔH，单位为kJ/mol，规定放热反应的ΔH为“—”，吸热反应的ΔH为“+”。

特别提醒：

（1）描述此概念时，无论是用“反应热”、“焓变”或“ ΔH”表示，其后所用的数值必须带“+”或“—”。

（2）单位是kJ/mol，而不是kJ，热量的单位是kJ。

（3）在比较大小时，所带“+”“—”符号均参入比较。

要点二：放热反应和吸热反应

1．放热反应的ΔH为“—”或ΔH＜0 ；吸热反应的ΔH为“+”或ΔH ＞0

?H＝E（生成物的总能量）－E（反应物的总能量）

?H＝E（反应物的键能）－ E（生成物的键能）

2．常见的放热反应和吸热反应

①放热反应：活泼金属与水或酸的反应、酸碱中和反应、燃烧反应、多数化合反应。

②吸热反应：多数的分解反应、氯化铵固体与氢氧化钡晶体的反应、水煤气的生成反应、炭与二氧化碳生成一氧化碳的反应

3．需要加热的反应，不一定是吸热反应；不需要加热的反应，不一定是放热反应

4．通过反应是放热还是吸热，可用来比较反应物和生成物的相对稳定性。

如C（石墨，s（金刚石，s） △H3= +1.9kJ/mol，该反应为吸热反应，金刚石的能量高，石墨比金属石稳定。

二、热化学方程式的书写

书写热化学方程式时，除了遵循化学方程式的书写要求外，还要注意以下几点：

1．反应物和生成物的聚集状态不同，反应热的数值和符号可能不同，因此必须注明反应物和生成物的聚集状态，用s、l、g分别表示固体、液体和气体，而不标“↓、↑”。

2．△H只能写在热化学方程式的右边，用空格隔开，△H值“—” 表示放热反应， △H值“+”表示吸热反应；单位为“kJ/mol”。

3．热化学方程式中各物质化学式前面的化学计量数仅表示该物质的物质的量，并不表示物质的分子数或原子数，因此，化学计量数可以是整数，也可以是分数。

4．△H的值要与热化学方程式中化学式前面的化学计量数相对应，如果化学计量数加倍，△H也要加倍。

5．正反应若为放热反应，则其逆反应必为吸热反应，二者△H的数值相等而符号相反。

三、燃烧热、中和热、能源

要点一：燃烧热、中和热及其异同

特别提醒：

1．燃烧热指的是1 mol可燃物燃烧生成稳定的化合物时所放出的热量，注意：稳定的化合物，如H2→H2O(l)而不是H2O(g)、 C→CO2(g)而不是CO 、S→SO2(g)而不是SO3。

2．中和热是指酸、碱的稀溶液发生中和反应生成1 mol水所放出的热量。注意：弱酸、弱

－碱电离出H+、OH需要吸收热量，故所测定中和热的数值偏小；浓硫酸与碱测定中和热时，

因浓硫酸释稀要放热，故测定的中和热的数值偏大。

3．因燃烧热、中和热是确定的放热反应，具有明确的含义，故在表述时不用带负号，如CH4的燃烧热为890KJ/mol。

4．注意表示燃烧热的热化学方程式和燃烧的热化学方程式；表示中和热的热化学方程式和表示中和反应的热化学方程式的不同。燃烧热以可燃物1mol为标准，且燃烧生成稳定的化合物；中和热以生成1mol水为标准。

要点二：能源

新能源的开发与利用,日益成为社会关注的焦点,因此,以新型能源开发与利用为背景材料，考查热化学方程式的书写及求算反应热，已成为高考命题的热点。

关于能源问题，应了解下面的几个问题：

（1）能源的分类：常规能源（可再生能源，如水等，非再生能源，如煤、石油、天然气等）；新能源（可再生能源，如太阳能、风能、生物能；非再生能源，如核聚变燃料）

（2）能源的开发；①太阳能：每年辐射到地球表面的能量为5×1019kJ，相当于目前全世界能量消耗的1.3万倍。②生物能：将生物转化为可燃性的液态或气态化合物，再利用燃烧放热。③风能：利用风力进行发电、提水、扬帆助航等技术，风能是一种可再生的干净能源。④地球能、海洋能。

四、反应热的求算

1．由盖斯定律：化学反应不管是一步完成还是分步完成，其反应热总是相同的。也就是说，化学反应热只与反应的始态和终态有关，而与具体反应的途径无关。

2．反应热的数值等于E（形成新键释放的总能量）与E（断键所吸收的总能量）之差，放热反应△H的符号为“—”，吸热反应△H的符号为“+”。

特别提醒：

（1）运用盖斯定律的技巧：参照目标热化学方程式设计合理的反应途径，对原热化学方程式进行恰当“变形”（反写、乘除某一个数），然后方程式之间进行“加减”，从而得出求算新热化学方程式反应热△H的关系式。

（2）具体方法：①热化学方程式乘以某一个数时，反应热也必须乘上该数；②热化学方程式“加减”时，同种物质之间可相“加减”，反应热也随之“加减”；③将一个热化学方程式颠倒

时，?H的“+”“—”号也随之改变，但数值不变。

（4）注意1molH2、O2、、p4分别含有1molH－H、1mol O=O、6molp－p，1molH2O中含有2molO—H，1molNH3含有3molN－H ，1molCH4含有4molC－H。

特别提醒】“五看”法判断热化学方程式正误：

①看方程式是否配平；

②看各物质的聚集状态是否正确；

③看ΔH变化的“＋”、“－”是否正确；

④反应热的单位是否为 kJ·mol－1

⑤看反应热的数值与化学计量数是否相对应。

1.下列说法中正确的是 ( )

A．物质发生化学反应都伴随着能量变化 B．伴有能量变化的物质变化都是化学变化

C．在一个确定的化学反应关系中，反应物的总能量与生成物的总能量一定不同

D．在一个确定的化学反应关系中，反应物的总能量总是高于生成物的总能量

〖解析〗物质发生化学反应都伴随着能量的变化，伴有能量变化的物质变化不一定是化学变化，物质发生物理变化、核变化(如原子弹的爆炸)也都伴有能量变化。在一个确定的化学反应中，反应物的总能量(设为x)与生成物的总能量(设为y)之间的关系为：(1)xy，化学反应为放热反应；(2)xy，化学反应为吸热反应。〖答案〗AC

2.（20xx 山东）下列与化学反应能量变化相关的叙述正确的是

A．生成物能量一定低于反应物总能量

B．放热反应的反应速率总是大于吸热反应的反应速率

C．应用盖斯定律，可计算某些难以直接测量的反应焓变

D．同温同压下，H2(g)+Cl2(g)=2HCl(g)在光照和点燃条件下的ΔH不同

〖解析〗生成物的总能量低于反应总能量的反应，是放热反应，若是吸热反应则相反，故A错；反映速率与反应是吸热还是放热没有必然的联系，故B错；C是盖斯定律的重要应用，正确；根据H=生成物的焓-反应物的焓可知，焓变与反应条件无关，故D错。〖答案〗C

3. 已知在1×105 pa、298 K条件下，2 mol氢气燃烧生成水蒸气放出484 kJ的热量，下列热化学方程式正确的是 ( )

A．H2O(g)=H2(g)＋O2(g)； ΔH＝＋242 kJ·mol－1

B．2H2(g)＋O2(g)=2H2O(l)； ΔH＝－484 kJ·mol－1

C．H2(g)＋ O2(g)=H2O(g)； ΔH＝＋242 kJ·mol－1

D．2H2(g)＋O2(g)===2H2O(g)； ΔH＝＋484 kJ·mol－1

〖解析〗热化学方程式的书写要求与普通方程式的区别：①一定要标明各物质的状态，B项中水为液态，排除。②化学计量数可用分数表示其实际物质的量，与热量成正比。③用ΔH表示其热效应时，吸热，其值为正；放热，其值为负。H2与O2反应生成水蒸气是放热反应，ΔH应为负值，而其逆反应ΔH则为正值。故排除C、D两项，〖答案〗A

4.①CaCO3(s)===CaO＋CO2(g) ΔH＝＋177.7 kJ

②C(s)＋H2O(g)===CO(g)＋H2(g) ΔH＝－131.3 kJ/mol

③H2SO4(l)＋NaOH(l)=== Na2SO4(l)＋H2O(l) ΔH＝－57.3 kJ/mol

④C(s)＋O2(g)===CO2(g) ΔH＝－393.5 kJ/mol

⑤CO(g)＋ O2(g)===CO2(g) ΔH＝－283 kJ/mol

⑥HNO3(aq)＋NaOH(aq)===NaNO3(aq)＋H2O(l) ΔH＝－57.3 kJ/mol ⑦2H2(g)＋O2(g)===2H2O(l) ΔH＝－517.6 kJ/mol

(1)上述热化学方程式中，不正确的有____，不正确的理由分别是__________________。

(2)根据上述信息，写出C转化为CO的热化学方程式________________________。

(3)上述反应中，表示燃烧热的热化学方程式有____；表示中和热的热化学方程式有____。

?导航? 中和热、燃烧热是两种特定形式的反应热，其基本要求与反应热相同，同时要注意两个概念本身的内涵。

〖解析〗①中CaO未注明聚集状态；ΔH单位应为kJ/mol；②式不符合实际反应情况，碳和水的反应属于吸热反应，ΔH0；③式中各物质聚集状态标注中，除H2O外，应为(aq)；由④、⑤可得C转化为CO的热化学方程式；101 kpa时，1 mol纯物质(指纯净物：单质或化合物)完全燃烧生成稳定化合物时所放出的热量叫做该物质的燃烧热；在稀溶液中酸跟碱发生中和反应生成1 mol H2O时，所释放的热量称为中和热。

〖答案〗 (1)①②③ ①中CaO未注明状态，ΔH单位错；②式不符合反应事实，吸热反应ΔH0；③式中各物质均处于稀溶液中，状态(除H2O外)均为溶液(aq) (2)C(s)＋O2(g)===CO(g) ΔH＝－110.5 kJ/mol (3)④⑤ ⑥

6.（20xx广东理综卷，9）

在298K、100kpa时，已知：2H2O(g)=O2(g)+2H2(g) ΔH1

H2(g)+Cl2(g)=2HCl(g) ΔH2

2 Cl2(g)+ 2H2O(g)=4HCl(g)+ O2(g) ΔH3

则ΔH3与ΔH1和ΔH2间的关系正确的是

A．ΔH3=ΔH1+2ΔH2 B．ΔH3=ΔH1+ΔH2

C．ΔH3=ΔH1-2ΔH2 D．ΔH3=ΔH1-ΔH2

〖解析〗第三个方程式可由第二个方程式乘以2与第一个方程式相加，有盖斯定律可知ΔH3=ΔH1+2ΔH2 〖答案〗A

7.已知下列热化学反应方程式：

Fe2O3(s)＋ 3CO(g)=2Fe(s)＋3CO2(g) ΔH＝－24.8 kJ/mol

Fe2O3(s)＋CO(g)= Fe3O4(s)＋ CO2(g) ΔH＝－15.73 kJ/mol

Fe3O4(s)＋CO(g)=3FeO(s)＋CO2(g) ΔH＝＋640.4 kJ/mol

则14 g CO气体还原足量FeO固体得到Fe固体和CO2气体时对应的ΔH约为( )

A．－218 kJ/mol B．－109 kJ/mol C．＋218 kJ/mol D．＋109 kJ/mol

?导航? 像这种根据盖斯定律进行反应热计算的试题，关键是找出欲求的热化学方程式与已知几个热化学方程式的关系，通过必要的加减乘除除掉欲求热化学方程式中没有，而已知热化学方程式有的物质，如该题欲求的热化学方程式中没有Fe2O3和Fe3O4，所以只要想办法除掉这两种物质即可。

〖解析〗该问题可以转化为12 CO(g)＋12 FeO(s)= 12 Fe(s)＋1

2 CO2(g) ΔH＝？所以应用盖斯定律，若把已知给出的3个热化学方程式按照顺序编号为①、②、③，那么[(①－②)×32 －③]×16 即可。〖答案〗B

篇二：选修4_化学反应原理知识点总结(免费版)

化学选修化学反应原理复习

第一章

一、焓变反应热

1．反应热：一定条件下，一定物质的量的反应物之间完全反应所放出或吸收的热量 2．焓变(ΔH)的意义：在恒压条件下进行的化学反应的热效应（1）.符号： △H（2）.单位：kJ/mol

3.产生原因：化学键断裂——吸热化学键形成——放热放出热量的化学反应。(放热吸热) △H 为“-”或△H 0 吸收热量的化学反应。（吸热放热）△H 为“+”或△H 0 ☆ 常见的放热反应：① 所有的燃烧反应② 酸碱中和反应

③ 大多数的化合反应 ④ 金属与酸的反应 ⑤ 生石灰和水反应⑥ 浓硫酸稀释、氢氧化钠固体溶解等

☆ 常见的吸热反应：① 晶体Ba(OH)2·8H2O与NH4Cl ② 大多数的分解反应

③ 以H2、CO、C为还原剂的氧化还原反应 ④ 铵盐溶解等

二、热化学方程式

书写化学方程式注意要点:

①热化学方程式必须标出能量变化。

②热化学方程式中必须标明反应物和生成物的聚集状态（g,l,s分别表示固态，液态，气态，水溶液中溶质用aq表示）

③热化学反应方程式要指明反应时的温度和压强。

④热化学方程式中的化学计量数可以是整数，也可以是分数

⑤各物质系数加倍，△H加倍；反应逆向进行，△H改变符号，数值不变三、燃烧热

1．概念：25 ℃，101 kpa时，1 mol纯物质完全燃烧生成稳定的化合物时所放出的热量。燃烧热的单位用kJ/mol表示。 ※注意以下几点：

①研究条件：101 kpa

②反应程度：完全燃烧，产物是稳定的氧化物。 ③燃烧物的物质的量：1 mol

④研究内容：放出的热量。（ΔH0，单位kJ/mol）四、中和热

1．概念：在稀溶液中，酸跟碱发生中和反应而生成1mol H2O，这时的反应热叫中和热。 2．强酸与强碱的中和反应其实质是H+和OH-反应，其热化学方程式为： H+(aq) +OH-(aq) =H2O(l) ΔH=－57.3kJ/mol

3．弱酸或弱碱电离要吸收热量，所以它们参加中和反应时的中和热小于57.3kJ/mol。 4．中和热的测定实验五、盖斯定律

1．内容：化学反应的反应热只与反应的始态（各反应物）和终态（各生成物）有关，而与具体反应进行的途径无关，如果一个反应可以分几步进行，则各分步反应的反应热之和与该反应一步完成的反应热是相同的。

第二章

一、化学反应速率

1. 化学反应速率（v）

⑴ 定义：用来衡量化学反应的快慢，单位时间内反应物或生成物的物质的量的变化 ⑵ 表示方法：单位时间内反应浓度的减少或生成物浓度的增加来表示

⑶ 计算公式：v=Δc/Δt（υ：平均速率，Δc：浓度变化，Δt：时间）单位：mol/（L·s） ⑷ 影响因素：

① 决定因素（内因）：反应物的性质（决定因素） ② 条件因素（外因）：反应所处的条件

※注意：（1）、参加反应的物质为固体和液体，由于压强的变化对浓度几乎无影响，可以认

为反应速率不变。（2）、惰性气体对于速率的影响

①恒温恒容时：充入惰性气体→总压增大，但是各分压不变，各物质浓度不变→反应速率不变

②恒温恒体时：充入惰性气体→体积增大→各反应物浓度减小→反应速率减慢

二、化学平衡（一）1.定义：

化学平衡状态：一定条件下，当一个可逆反应进行到正逆反应速率相等时，更组成成分浓度不再改变，达到表面上静止的一种―平衡‖，这就是这个反应所能达到的限度即化学平衡状态。 2、化学平衡的特征

逆（研究前提是可逆反应）

等（同一物质的正逆反应速率相等）动（动态平衡）

定（各物质的浓度与质量分数恒定）变（条件改变，平衡发生变化） 3、判断平衡的依据

判断可逆反应达到平衡状态的方法和依据

1、浓度对化学平衡移动的影响（1）影响规律：在其他条件不变的情况下，增大反应物的浓度或减少生成物的浓度，都可以使平衡向正方向移动；增大生成物的浓度或减小反应物的浓度，都可以使平衡向逆方向移动

（2）增加固体或纯液体的量，由于浓度不变，所以平衡_不移动_ （3）在溶液中进行的反应，如果稀释溶液，反应物浓度__减小__，生成物浓度也_减小_， V正_减小___，V逆也_减小____，但是减小的程度不同，总的结果是化学平衡向反应方程式中化学计量数之和__大___的方向移动。 2、温度对化学平衡移动的影响

影响规律：在其他条件不变的情况下，温度升高会使化学平衡向着___吸热反应______方向移动，温度降低会使化学平衡向着_放热反应__方向移动。 3、压强对化学平衡移动的影响

影响规律：其他条件不变时，增大压强，会使平衡向着__体积缩小___方向移动；减小压强，会使平衡向着___体积增大__方向移动。注意：（1）改变压强不能使无气态物质存在的化学平衡发生移动（2）气体减压或增压与溶液稀释或浓缩的化学平衡移动规律相似 4.催化剂对化学平衡的影响：由于使用催化剂对正反应速率和逆反应速率影响的程度是等同的，所以平衡__不移动___。但是使用催化剂可以影响可逆反应达到平衡所需的_时间_。 5.勒夏特列原理（平衡移动原理）：如果改变影响平衡的条件之一（如温度，压强，浓度），平衡向着能够减弱这种改变的方向移动。

三、化学平衡常数

（一）定义：在一定温度下，当一个反应达到化学平衡时，___生成物浓度幂之积与反应物浓度幂之积的比值是一个常数____比值。符号：__K__ （二）使用化学平衡常数K应注意的问题：

1、表达式中各物质的浓度是__变化的浓度______，不是起始浓度也不是物质的量。 2、K只与__温度（T）___有关，与反应物或生成物的浓度无关。

3、反应物或生产物中有固体或纯液体存在时，由于其浓度是固定不变的，可以看做是―1‖而不代入公式。

4、稀溶液中进行的反应，如有水参加，水的浓度不必写在平衡关系式中。（三）化学平衡常数K的应用:

1、化学平衡常数值的大小是可逆反应__进行程度_____的标志。K值越大，说明平衡时_生成物___的浓度越大，它的___正向反应___进行的程度越大，即该反应进行得越__完全___，反应物转化率越_高___。反之，则相反。一般地，K_105__时，该反应就进行得基本完全了。

2、可以利用K值做标准，判断正在进行的可逆反应是否平衡及不平衡时向何方进行建立平衡。（Q：浓度积）

Q_〈__K:反应向正反应方向进行; Q__=_K:反应处于平衡状态 ; Q_〉__K:反应向逆反应方向进行 3、利用K值可判断反应的热效应

若温度升高，K值增大，则正反应为__吸热___反应若温度升高，K值减小，则正反应为__放热___反应＊四、等效平衡

1、概念：在一定条件下（定温、定容或定温、定压），只是起始加入情况不同的同一可逆反应达到平衡后，任何相同组分的百分含量均相同，这样的化学平衡互称为等效平衡。 2、分类

（1）定温，定容条件下的等效平衡第一类：对于反应前后气体分子数改变的可逆反应：必须要保证化学计量数之比与原来相同；同时必须保证平衡式左右两边同一边的物质的量与原来相同。第二类：对于反应前后气体分子数不变的可逆反应：只要反应物的物质的量的比例与原来相同即可视为二者等效。

（2）定温，定压的等效平衡

只要保证可逆反应化学计量数之比相同即可视为等效平衡。五、化学反应进行的方向 1、反应熵变与反应方向：

（1）熵:物质的一个状态函数，用来描述体系的混乱度，符号为S. 单位：J?mol-1?K-1

(2)体系趋向于有序转变为无序，导致体系的熵增加，这叫做熵增加原理，也是反应方向判断的依据。.

（3）同一物质，在气态时熵值最大，液态时次之，固态时最小。即S(g)〉S(l)〉S(s) 2、反应方向判断依据

在温度、压强一定的条件下，化学反应的判读依据为： ΔH-TΔS〈0 反应能自发进行 ΔH-TΔS=0 反应达到平衡状态 ΔH-TΔS〉0 反应不能自发进行

注意：（1）ΔH为负，ΔS为正时，任何温度反应都能自发进行（2）ΔH为正，ΔS为负时，任何温度反应都不能自发进行

第三章

一、弱电解质的电离

1、定义：电解质：,叫电解质非电解质：在水溶液中或熔化状态下都不能导电的化合物。强电解质：在水溶液里全部电离成离子的电解质。

弱电解质：在水溶液里只有一部分分子电离成离子的电解质。混和物

强电解质：强酸，强碱，大多数盐。如HCl、NaOH、NaCl、BaSO4

弱电解质：弱酸，弱碱，极少数盐，水。如HClO、NH3·H2O、Cu(OH)、HO?? 非金属氧化物，大部分有机物。如SO3、CO2、C6H12O6、CCl4、CH2=CH2??

2、电解质与非电解质本质区别：

电解质——离子化合物或共价化合物非电解质——共价化合物

注意：①电解质、非电解质都是化合物②SO2、NH3、CO2等属于非电解质 ③强电解质不等于易溶于水的化合物（如BaSO4不溶于水，但溶于水的BaSO4全部电离，故BaSO4为强电解质）——电解质的强弱与导电性、溶解性无关。

3、电离平衡：在一定的条件下，当电解质分子电离成和离子结合成时，电离过程就达到了平衡状态，这叫电离平衡。 4、影响电离平衡的因素：

A、温度：电离一般吸热，升温有利于电离。

B、浓度：浓度越大，电离程度；溶液稀释时，电离平衡向着电离的方向移动。C、同离子效应：在弱电解质溶液里加入与弱电解质具有相同离子的电解质，会电离。D、其他外加试剂：加入能与弱电解质的电离产生的某种离子反应的物质时，有利于电离。 9、电离方程式的书写：用可逆符号弱酸的电离要分布写（第一步为主）

10、电离常数：在一定条件下，弱电解质在达到电离平衡时，溶液中电离所生成的各种离子浓度的乘积，跟溶液中未电离的分子浓度的比是一个常数。叫做电离平衡常数，（一般用Ka表示酸，Kb表示碱。）

+-+-表示方法：ABA+BKi=[ A][ B]/[AB]

11、影响因素：

a、电离常数的大小主要由物质的本性决定。

b、电离常数受温度变化影响，不受浓度变化影响，在室温下一般变化不大。

C、同一温度下，不同弱酸，电离常数越大，其电离程度越大，酸性越强。如：H2SO3H3pO4HFCH3COOHH2CO3H2SHClO 二、水的电离和溶液的酸碱性 1、水电离平衡：:

水的离子积：KW+]·c[OH-

25℃时, [H+]=[OH-] =10-7 mol/L ; KW = [H+]·[OH-] = 注意：KW只与温度有关，温度一定，则KW值一定 KW不仅适用于纯水，适用于任何溶液（酸、碱、盐）

-14

篇三：化学选修《化学反应原理》知识点总结

《化学反应原理》知识点总结

第一章：化学反应与能量变化

1、反应热与焓变：△H=H(产物)-H(反应物)

2、反应热与物质能量的关系

能量反应物的总能量总能量生成物的总能量反应过程总能量 3、反应热与键能的关系

△H=反应物的键能总和-生成物的键能总和

4、常见的吸热、放热反应

⑴常见的放热反应：

①活泼金属与水或酸的反应 ②酸碱中和反应 ③燃烧反应 ④多数的化合反应 ⑤铝热反应

⑵常见的吸热反应

①多数的分解反应 ② 2NH4Cl(s)+Ba(OH)2·8H2O(s)=BaCl2+2NH3+10H2O

③ C(s)+ H2O(g) 高温CO+H2 ④CO2+ C高温

2 CO

5、反应条件与吸热、放热的关系：反应是吸热还是放热与反应的条件没有必然的联系，而取决与反应物和产物具有的

总能量（或焓）的相对大小。

6、书写热化学方程式除了遵循书写化学方程式的要求外，还应注意以下几点：

①放热反应△H为“-”，吸热反应△H为“+”，△H的单位为kJ/mol

②反应热△H与测定条件（温度、压强等）有关，因此应注意△H的测定条件；绝大多数化学反应的△H是在298K、101pa下测定的，可不注明温度和压强。

③热化学方程式中各物质化学式前面的系数仅表示该物质的物质的量，并不表示物质的分子或原子数，因此化学计量数可以是分数或小数。必须注明物质的聚集状态，热化学方程式是表示反应已完成的数量，所以方程式中化学式前面的计量数必须与△H相对应；当反应逆向进行时，反应热数值相等，符号相反。

7、利用盖斯定律进行简单的计算

8、电极反应的书写：

⑴电解：阳极：（与电源的正极相连）发生氧化反应惰性电极：溶液中阴离子失电子

（放电顺序：IBrClOH）

阴极:（与电源的负极相连）发生还原反应，溶液中的阳离子得电子

（放电顺序：AgCuH）

注意问题：①书写电极反应式时，要用实际放电的离子来表示．．．．．．．

②电解反应的总方程式要注明“通电” +2++----

③若电极反应中的离子来自与水或其他弱电解质的电离，则总反应离子方程式中要用化学式表示

⑵原电池：负极：负极本身失电子，Ｍ→Ｍ +ｎｅＮ+mｅ→Ｎ正极:2H+2e→H2↑

O2+2H2O→4OH （即发生吸氧腐蚀）

9、电解原理的应用：

⑴氯碱工业：阳极(石墨):2Cl→Cl2+2e( Cl2的检验：将湿润的淀粉碘化钾试纸靠近出气口，试纸变蓝，证明生成了Cl2)。阴极：2H+2e→H2↑（阴极产物为H2、NaOH。现象（滴入酚酞）：有气泡逸出，溶液变红）。

⑵铜的电解精炼：电极材料：粗铜做阳极，纯铜做阴极。电解质溶液：硫酸酸化的硫酸铜溶液

⑶电镀：电极材料：镀层金属做阳极（也可用惰性电极做阳极），镀件做阴极。电解质溶液是用含有镀层金属阳离子的盐

溶液。

10、化学电源

⑴燃料电池：先写出电池总反应（类似于可燃物的燃烧）；

再写正极反应（氧化剂得电子，一般是O2+4e+2H2O→4OH（中性、碱性溶液）

O2+4e+4H→2H2O (酸性水溶液)。负极反应=电池反应-正极反应（必须电子转移相等）

⑵充放电电池：放电时相当于原电池，充电时相当于电解池（原电池的负极与电源的负极相连，做阴极，原电池的正极与电源的正极相连，做阳极），

11、计算时遵循电子守恒，常用关系式：2 H2~ O2~2Cl2~2Cu~4Ag~4OH~4 H~4e

12、金属腐蚀：电解阳极引起的腐蚀原电池负极引起的腐蚀化学腐蚀原电池正极电解阴极

钢铁在空气中主要发生吸氧腐蚀。负极：2Fe→ 2Fe+4e 正极：O2+4e+2H2O→4OH

总反应：2Fe + O2+2H2O＝2Fe(OH)2

第二章：化学反应的方向、限度和速度

1、反应方向的判断依据：△H-T△S0,反应能自发进行；△H-T△S=0，反应达到平衡状态

△H-T△S0反应不能自发。该判据指出的是一定条件下，自发反应发生的可能性，不能说明实际能否发生反应（计算时注

意单位的换算）课本p40T3

2+----+--+--+-----m+-+-n+-

2、化学平衡常数：

①平衡常数的大小反映了化学反应可能进行的程度，平衡常数越大，说明反应进行的越完全。②纯固体或纯溶剂参加的反应，

它们不列入平衡常数的表达式

③平衡常数的表达式与化学方程式的书写方式有关，单位与方程式的书写形式一一对应。对于给定的化学反应，正逆反应的

平衡常数互为倒数

④化学平衡常数受温度影响，与浓度无关。温度对化学平衡的影响是通过影响平衡常数实现的。温度升高，化学平衡常数增

大还是减小与反应吸放热有关。

3、平衡状态的标志：①同一物质的v正=v逆 ②各组分的物质的量、质量、含量、浓度（颜色）保持不变③气体的总

物质的量、总压强、气体的平均分子量保持不变只适用于△vg≠0的反应④密度适用于非纯气体反应或体积可变的容器

4、惰性气体对化学平衡的影响

⑴恒压时充入惰性气体，体积必增大，引起反应体系浓度的减小，相当于减压对平衡的影响

⑵恒容时充入惰性气体，各组分的浓度不变，速率不变，平衡不移动

⑶对于△vg=0的可逆反应，平衡体系中加入惰性气体，恒容、恒压下平衡都不会移动

5、⑴等效平衡：①恒温恒压，适用于所有有气体参加的可逆反应，只要使转化后物质的量之比与最初加入的物质的量之

比相同，均可达到等效平衡；平衡时各组分的百分含量相同，浓度相同，转化率相同。

②恒温恒容，△vg=0的反应，只要使转化后物质的量之比与最初加入的物质的量之比相同，均可达到等效平衡；平衡时各组分的百分含量相同，转化率相同。

⑵等同平衡：恒温恒容，适用于所有有气体参加的可逆反应，只要使转化后物质的量与最初加入的物质的量相同，均可达到等同平衡；平衡时各组分的物质的量相同，百分含量相同，浓度相同。

6、充气问题：以aA(g)+bB(g)cC(g)

⑴只充入一种反应物，平衡右移，增大另一种反应物的转化率，但它本身的转化率降低

⑵两种反应物按原比例充，恒容时相当于加压，恒压时等效平衡

⑶初始按系数比充入的反应物或只充入产物，平衡时再充入产物，恒容时相当于加压，恒压时等效平衡

化学反应速率: 速率的计算和比较；浓度对化学速率的影响（温度、浓度、压强、催化剂）； V-t图的分析

第三章物质在水溶液中的行为

1、强弱电解质：

⑴强电解质：完全电离，其溶液中无溶质分子，电离方程式用“＝”，且一步电离；强酸、强碱、大多数盐都属于强

电解质。

⑵弱电解质：部分电离，其溶液中存在溶质分子，电离方程式用“

电解质的电离一步完成；弱酸、弱碱、水都是弱电解质。

”，多元弱酸的电离方程式分步写，其余的弱

⑶常见的碱：KOH、NaOH、Ca(OH)2、Ba(OH)2是强碱，其余为弱碱；

常见的酸：HCl、HBr、HI、HNO3、H2SO4是强酸，其余为弱酸；

注意：强酸的酸式盐的电离一步完成，如：NaHSO4=Na+H+SO4，而弱酸的酸式盐要分步写，如：NaHCO3=Na+HCO3,

HCO3-++2-+- CO3 +H 2-+

2、电离平衡

⑴ 电离平衡是平衡的一种，遵循平衡的一般规律。温度、浓度、加入与弱电解质相同的离子或与弱电解质反应的物质，

都会引起平衡的移动

⑵ 电离平衡常数（Ka或Kb）表征了弱电解质的电离能力，一定温度下，电离常数越大，弱电解质的电离程度越大。Ka

或Kb是平衡常数的一种，与化学平衡常数一样，只受温度影响。温度升高，电离常数增大。

3、水的电离：

⑴ H2OH+OH，△H0。升高温度、向水中加入酸、碱或能水解的盐均可引起水的电离平衡的移动。

+-+- ⑵ 任何稀的水溶液中，都存在，且[H]·[OH]是一常数，称为水的离子积（Kw）；Kw是温度常数，只受温度影响，而与

H或OH浓度无关。

⑶ 溶液的酸碱性是H与OH 浓度的相对大小，与某一数值无直接关系。

⑷ 当溶液中的H 浓度≤1mol/L时，用pH表示。

无论是单一溶液还是溶液混合后求pH，都遵循同一原则：若溶液呈酸性，先求c(H);若溶液呈碱性，先求c(OH),由Kw求出c(H)，再求pH。

⑸ 向水中加入酸或碱，均抑制水的电离，使水电离的c(H)或c(OH10mol/L，但

c(H)H2O=c(OH)H2O。如某溶液中水电离的c(H)=10mol/L，此时溶液可能为强酸性，也可能为强碱性，即室温下，pH=1或13

向水中加入水解的盐，促进水的电离，使水电离的c(H)或c(OH)10mol/L，如某溶液中水电离的c(H)=10mol/L，此时溶液为酸性，即室温下，pH=5，可能为强酸弱碱盐溶液。

4、盐的水解

⑴在溶液中只有盐电离出的离子才水解。本质是盐电离出的离子与水电离出H或OH结合生成弱电解质，使H或OH的浓度减小，从而促进水的电离。

⑵影响因素：①温度：升温促进水解 ②浓度：稀释促进水解 ③溶液的酸碱性④ 同离子效应

⑷水解方程式的书写：

①单个离子的水解：一般很微弱，用，产物不标“↑”“↓”；多元弱酸盐的水解方程式要分步写 +-+-+--7+-5+-+-13+-)-7++-++-+-

②双水解有两种情况：Ⅰ水解到底，生成气体、沉淀，用＝，标出“↑”“↓”。

Ⅱ部分水解，无沉淀、气体，用，产物不标“↑”“↓”；

⑸ 盐类水解的应用：①判断溶液的酸碱性 ②判断盐溶液中的离子种类及其浓度大小 ③判断离子共存 ④加热浓缩或蒸干某些盐溶液时产物的判断，如AlCl3溶液 ⑤某些盐溶液的保存与配制，如FeCl3溶液 ⑥某些胶体的制备，如Fe(OH)3胶体 ⑦解释生产、生活中的一些化学现象，如明矾净水、化肥的施用等。（解释时规范格式：写上对应的平衡-----条件改变平衡移动-----结果）

5、沉淀溶解平衡：

⑴ Ksp:AmBnmA+nB,Ksp=[A][B]。 n+m-n+mm-n

①Ksp只与难溶电解质的性质和温度有关，溶液中离子浓度的变化只能使平衡移动，不改变Ksp。②对于阴阳离子个

数比相同的电解质，Ksp越大，电解质在水中的溶解能力越强。

⑵ QKsp,有沉淀生成；Q=Ksp，沉淀与溶解处于平衡状态；QKsp，沉淀溶解。

⑶ 一种沉淀可以转化为更难溶的沉淀。如锅垢中Mg(OH)2的生成，工业中重金属离子的除去。

6、离子反应：

⑴ 与量有关的离子方程式的书写：设量少的物质物质的量为1mol，与另一过量的物质充分反应。

⑵ 离子共存推断题解答时应注意：①判断一种离子存在后，一定注意与之不共存的离子一定不存在；②前面加入的试剂对后面的鉴定是否有影响。

⑶ 离子（或物质）检验的一般步骤：取少量——加试剂——观现象——定结论。

级上册英语知识点总结完整版

篇一：20xx-20xx最新人教版八年级英语上册期末复习提纲

人教版八年级英语上册期末复习要点

Unit 1 any 太多，后接可数名词复数： Mother bought too many eggs yesterday. ○

too much 太多，修饰不可数名词，修饰动词作状语。 e Alan studies hard.艾伦大部分时间学习都很刻苦。

第 4 页共 123 页

①Most of us_____(be)going to the park.我们大多数人要去公园。

【20xx云南昆明】36. ----mer. I can saybe Tom’s pen is in his backpack

【江苏南通】Noy mom helps me_______(do) my homey mom helps me y teacher’s e fish, Jeff.

A. you B. your C. yours D. yourself

高中化学必修2知识点归纳总结

篇一：人教版化学必修2知识点归纳总结

高中化学必修2知识点归纳总结

第一单元原子核外电子排布与元素周期律

一、原子结构

质子（Z个）

原子核注意：

中子（N个）质量数(A)＝质子数(Z)＋中子数(N)

1.原子序数=核电荷数=质子数=原子的核外电子

核外电子（Z个）

★熟背前20号元素，熟悉1～20号元素原子核外电子的排布：

H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si p S Cl Ar K Ca 2.原子核外电子的排布规律：①电子总是尽先排布在能量最低的电子层里；②各电子层最多

容纳的电子数是2n；③最外层电子数不超过8个（K层为最外层不超过2个），次外层不超过18个，倒数第三层电子数不超过32个。

电子层：一（能量最低）二三四五六七对应表示符号： KL M N O p Q 3.元素、核素、同位素

元素：具有相同核电荷数的同一类原子的总称。

核素：具有一定数目的质子和一定数目的中子的一种原子。

同位素：质子数相同而中子数不同的同一元素的不同原子互称为同位素。(对于原子来说) 二、元素周期表 1.编排原则：

①按原子序数递增的顺序从左到右排列 ②将电子层数相同的各元素从左到右排成一横行。（周期序数＝原子的电子层数）．．．．．．．．③把最外层电子数相同的元素按电子层数递增的顺序从上到下排成一纵行。．．．．．．．．．．

主族序数＝原子最外层电子数 2.结构特点：

核外电子层数元素种类

第一周期 12种元素

短周期第二周期 28种元素

周期第三周期 38种元素

元 7第四周期 418种元素素 7第五周期 518种元素周长周期第六周期 632种元素

期第七周期 7未填满（已有26种元素）表主族：ⅠA～ⅦA共7个主族

族副族：ⅢB～ⅦB、ⅠB～ⅡB，共7个副族（18个纵行）第Ⅷ族：三个纵行，位于ⅦB和ⅠB之间（16个族）零族：稀有气体三、元素周期律

1.元素周期律：元素的性质（核外电子排布、原子半径、主要化合价、金属性、非金属性）随着核电荷数的递增而呈周期性变化的规律。元素性质的周期性变化实质是元素原子核外电．．．．．．．．．．子排布的周期性变化的必然结果。．．．．．．．．．

2.同周期元素性质递变规律

方）

第ⅦA族卤族元素：F ClBrIAt （F是非金属性最强的元素，位于周期表右上方） ★判断元素金属性和非金属性强弱的方法：（1）金属性强（弱）——①单质与水或酸反应生成氢气容易（难）；②氢氧化物碱性强（弱）；③相互置换反应（强制弱）Fe＋CuSO4＝FeSO4＋Cu。

（2）非金属性强（弱）——①单质与氢气易（难）反应；②生成的氢化物稳定（不稳定）；③最高价氧化物的水化物（含氧酸）酸性强（弱）；④相互置换反应（强制弱）2NaBr＋Cl2＝2NaCl＋Br2。

比较粒子(包括原子、离子)半径的方法(“三看”)：（1）先比较电子层数，电子层数多的半

径大。

（2）电子层数相同时，再比较核电荷数，核电荷数多的半径反而小。

元素周期表的应用

1、元素周期表中共有个 7周期，3 是短周期， 4是长周期。

2、在元素周期表中，ⅠA-ⅦA是主族元素，主族和0族由短周期元素、长周期元素共同组成。 ⅠB -ⅦB是副族元素，副族元素完全由长周期元素构成。 3、元素所在的周期序数= 电子层数，主族元素所在的族序数=最外层电子数，元素周期表是元素周期律的具体表现形式。在同一周期中，从左到右，随着核电荷数的递增，原子半径逐渐减小，原子核对核外电子的吸引能力逐渐增强，元素的金属性逐渐减弱，非金属性逐渐增强。在同一主族中，从上到下，随着核电荷数的递增，原子半径逐渐增大，电子层数逐渐增多，原子核对外层电子的吸引能力逐渐减弱，元素的金属性逐渐增强，非金属性逐渐减弱。

4、元素的结构决定了元素在周期表中的位置，元素在周期表中位置的反映了原子的结构和元素的性质特点。我们可以根据元素在周期表中的位置，推测元素的结构，预测元素的性质。元素周期表中位置相近的元素性质相似，人们可以借助元素周期表研究合成有特定性质的新物质。例如，在金属和非金属的分界线附近寻找半导体材料，在过渡元素中寻找各种优良的催化剂和耐高温、耐腐蚀材料。

第二单元微粒之间的相互作用

化学键是直接相邻两个或多个原子或离子间强烈的相互作用。

离子化合物：由离子键构成的化合物叫做离子化合物。（一定有离子键，可能有共价键）共价化合物：原子间通过共用电子对形成分子的化合物叫做共价化合物。（只有共价键一定没有离子键）

极性共价键（简称极性键）：由不同种原子形成，A－B型，如，H－Cl。

共价键

非极性共价键（简称非极性键）：由同种原子形成，A－A型，如，Cl－Cl。

2.电子式：

用电子式表示离子键形成的物质的结构与表示共价键形成的物质的结构的不同点：（1）电荷：用电子式表示离子键形成的物质的结构需标出阳离子和阴离子的电荷；而表示共价键形成的物质的结构不能标电荷。（2）[]（方括号）：离子键形成的物质中的阴离子需用方括号括起来，而共价键形成的物质中不能用方括号。

3、分子间作用力定义把分子聚集在一起的作用力。由分子构成的物质，分子间作用力是影响物质的熔沸点和溶解性的重要因素之一。

4、水具有特殊的物理性质是由于水分子中存在一种被称为氢键的分子间作用力。水分子间的氢键，是一个水分子中的氢原子与另一个水分子中的氧原子间所形成的分子间作用力，这种作用力使得水分子间作用力增加，因此水具有较高的熔沸点。其他一些能形成氢键的分子有 HFH2O NH3 。

第三单元从微观结构看物质的多样性

专题二化学反应与能量变化

第一单元化学反应的速率与反应限度

1、化学反应的速率（1）概念：化学反应速率通常用单位时间内反应物浓度的减少量或生成物浓度的增加量（均取正值）来表示。计算公式：v(B)＝

?c(B)?t

＝

?n(B)V??t

①单位：mol/(L·s)或mol/(L·min)

②B为溶液或气体，若B为固体或纯液体不计算速率。 ③以上所表示的是平均速率，而不是瞬时速率。 ④重要规律：（i）速率比＝方程式系数比（ii）变化量比＝方程式系数比（2）影响化学反应速率的因素：

内因：由参加反应的物质的结构和性质决定的（主要因素）。外因：①温度：升高温度，增大速率

②催化剂：一般加快反应速率（正催化剂）

③浓度：增加C反应物的浓度，增大速率（溶液或气体才有浓度可言）

④压强：增大压强，增大速率（适用于有气体参加的反应） ⑤其它因素：如光（射线）、固体的表面积（颗粒大小）、反应物的状态（溶剂）、原

电池等也会改变化学反应速率。

2、化学反应的限度——化学平衡

（1）在一定条件下，当一个可逆反应进行到正向反应速率与逆向反应速率相等时，反应物和生成物的浓度不再改变，达到表面上静止的一种“平衡状态”，这就是这个反应所能达到的限度，即化学平衡状态。

化学平衡的移动受到温度、反应物浓度、压强等因素的影响。催化剂只改变化学反应速率，对化学平衡无影响。

在相同的条件下同时向正、逆两个反应方向进行的反应叫做可逆反应。通常把由反应物向生成物进行的反应叫做正反应。而由生成物向反应物进行的反应叫做逆反应。

在任何可逆反应中，正方应进行的同时，逆反应也在进行。可逆反应不能进行到底，即是说可逆反应无论进行到何种程度，任何物质（反应物和生成物）的物质的量都不可能为0。（2）化学平衡状态的特征：逆、动、等、定、变。 ①逆：化学平衡研究的对象是可逆反应。

②动：动态平衡，达到平衡状态时，正逆反应仍在不断进行。

③等：达到平衡状态时，正方应速率和逆反应速率相等，但不等于0。即v正＝v逆≠0。 ④定：达到平衡状态时，各组分的浓度保持不变，各组成成分的含量保持一定。 ⑤变：当条件变化时，原平衡被破坏，在新的条件下会重新建立新的平衡。（3）判断化学平衡状态的标志：

① VA（正方向）＝VA（逆方向）或nA（消耗）＝nA（生成）（不同方向同一物质比较） ②各组分浓度保持不变或百分含量不变 ③借助颜色不变判断（有一种物质是有颜色的）

④总物质的量或总体积或总压强或平均相对分子质量不变（前提：反应前后气体的总物质的量不相等的反应适用，即如对于反应xA＋

zC，x＋y≠z ）

第二单元化学反应中的热量

原因：当物质发生化学反应时，断开反应物中的化学键要吸收能量，而形成生成物中的化学键要放出能量。化学键的断裂和形成是化学反应中能量变化的主要原因。一个确定的化学反应在发生过程中是吸收能量还是放出能量，决定于反应物的总能量与生成物的总能量的相对大小。E反应物总能量＞E生成物总能量，为放热反应。E反应物总能量＜E生成物总能量，为吸热反应。

2、常见的放热反应和吸热反应

☆ 常见的放热反应：①所有的燃烧与缓慢氧化 ② 酸碱中和反应

③ 大多数的化合反应 ④ 金属与酸的反应

⑤ 生石灰和水反应（特殊：C＋CO2

△

2CO是吸热反应）

⑥ 浓硫酸稀释、氢氧化钠固体溶解等

☆常见的吸热反应：①铵盐和碱的反应

如Ba(OH)2·8H2O＋NH4Cl＝BaCl2＋2NH3↑＋10H2O ②大多数分解反应如KClO3、KMnO4、CaCO3的分解等 ③ 以H2、CO、C为还原剂的氧化还原反应如：C(s)＋H2O(g)CO(g)＋H2(g)。④ 铵盐溶解等

3.产生原因：化学键断裂——吸热化学键形成——放热

△

篇二：高中化学必修2知识点归纳总结律

高中化学必修2知识点归纳总结

第一章物质结构元素周期律

一、原子结构

质子（Z个）

原子核注意：

中子（N个）

质量数(A)＝质子数(Z)＋中子数(N)

1. 原子序数=核电荷数=质子数=原子的核外电子数

核外电子（Z个） ★熟背前20号元素，熟悉1～20号元素原子核外电子的排布：

H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si p S Cl Ar K Ca

2.原子核外电子的排布规律：①电子总是尽先排布在能量最低的电子层里；②各电子层最多容纳的电子数是2n2；③最外层电子数不超过8个（K层为最外层不超过2个），次外层不超过18个，倒数第三层电子数不超过32个。

电子层：一（能量最低）二三四五六七

对应表示符号： KL M N O p Q 3.元素、核素、同位素

元素：具有相同核电荷数的同一类原子的总称。

核素：具有一定数目的质子和一定数目的中子的一种原子。

同位素：质子数相同而中子数不同的同一元素的不同原子互称为同位素。(对于原子来说) 二、元素周期表 1.编排原则：

主族序数＝原子最外层电子数 2.结构特点：

核外电子层数元素种类

第一周期 12种元素

短周期第二周期 28种元素

周期第三周期 38种元素

元 7第四周期 418种元素素 7第五周期 518种元素周长周期第六周期 632种元素

期第七周期 7未填满（已有26种元素）表主族：ⅠA～ⅦA共7个主族

族副族：ⅢB～ⅦB、ⅠB～ⅡB，共7个副族（18个纵行）第Ⅷ族：三个纵行，位于ⅦB和ⅠB之间（16个族）零族：稀有气体三、元素周期律

1.元素周期律：元素的性质（核外电子排布、原子半径、主要化合价、金属性、非金属性）随着核电荷数的递增而呈周期性变化的规律。元素性质的周期性变化实质是元素原子核外电子排布的周期性变化的必然结果。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2.同周期元素性质递变规律

第ⅦA族卤族元素：F ClBrIAt（F是非金属性最强的元素，位于周期表右上方） ★判断元素金属性和非金属性强弱的方法：

（1）金属性强（弱）——①单质与水或酸反应生成氢气容易（难）；②氢氧化物碱性强（弱）；③相互置换反应（强制弱）Fe＋CuSO4＝FeSO4＋Cu。

（2）非金属性强（弱）——①单质与氢气易（难）反应；②生成的氢化物稳定（不稳定）；③最高价氧化物的水化物（含氧酸）酸性强（弱）；④相互置换反应（强制弱）2NaBr＋Cl2＝2NaCl＋Br2。（Ⅰ）同周期比较：

（Ⅲ）

（2）电子层数相同时，再比较核电荷数，核电荷数多的半径反而小。

四、化学键

化学键是相邻两个或多个原子间强烈的相互作用。 1.离子键与共价键的比较

离子化合物：由离子键构成的化合物叫做离子化合物。（一定有离子键，可能有共价键）共价化合物：原子间通过共用电子对形成分子的化合物叫做共价化合物。（只有共价键）

极性共价键（简称极性键）：由不同种原子形成，A－B型，如，H－Cl。共价键

非极性共价键（简称非极性键）：由同种原子形成，A－A型，如，Cl－Cl。

2.电子式：

第二章化学反应与能量

第一节化学能与热能

2、常见的放热反应和吸热反应

常见的放热反应：①所有的燃烧与缓慢氧化。②酸碱中和反应。③金属与酸反应制取氢气。

④大多数化合反应（特殊：C＋CO2

△

2CO是吸热反应）。

△

常见的吸热反应：①以C、H2、CO为还原剂的氧化还原反应如：C(s)＋H2O(g)

③大多数分解反应如KClO3、KMnO4、CaCO3的分解等。

CO(g)＋H2(g)。

②铵盐和碱的反应如Ba(OH)2·8H2O＋NH4Cl＝BaCl2＋2NH3↑＋10H2O

[思考]一般说来，大多数化合反应是放热反应，大多数分解反应是吸热反应，放热反应都不需要加热，吸热反应

都需要加热，这种说法对吗？试举例说明。

点拔：这种说法不对。如C＋O2＝CO2的反应是放热反应，但需要加热，只是反应开始后不再需要加热，反应放出的热量可以使反应继续下去。Ba(OH)2·8H2O与NH4Cl的反应是吸热反应，但反应并不需要加热。

第二节化学能与电能

1、化学能转化为电能的方式： 2、原电池原理

（1）概念：把化学能直接转化为电能的装置叫做原电池。

（2）原电池的工作原理：通过氧化还原反应（有电子的转移）把化学能转变为电能。

（3）构成原电池的条件：（1）电极为导体且活泼性不同；（2）两个电极接触（导线连接或直接接触）；（3）两个相互连接的电极插入电解质溶液构成闭合回路。

（4）电极名称及发生的反应：

负极：较活泼的金属作负极，负极发生氧化反应，

－

电极反应式：较活泼金属－ne＝金属阳离子负极现象：负极溶解，负极质量减少。

正极：较不活泼的金属或石墨作正极，正极发生还原反应，电极反应式：溶液中阳离子＋ne－＝单质

正极的现象：一般有气体放出或正极质量增加。

（5）原电池正负极的判断方法： ①依据原电池两极的材料：

较活泼的金属作负极（K、Ca、Na太活泼，不能作电极）；较不活泼金属或可导电非金属（石墨）、氧化物（MnO2）等作正极。

②根据电流方向或电子流向：（外电路）的电流由正极流向负极；电子则由负极经外电路流向原电池的正极。 ③根据内电路离子的迁移方向：阳离子流向原电池正极，阴离子流向原电池负极。 ④根据原电池中的反应类型：

负极：失电子，发生氧化反应，现象通常是电极本身消耗，质量减小。正极：得电子，发生还原反应，现象是常伴随金属的析出或H2的放出。

（6）原电池电极反应的书写方法：

（i）原电池反应所依托的化学反应原理是氧化还原反应，负极反应是氧化反应，正极反应是还原反应。因此书写电极反应的方法归纳如下：

①写出总反应方程式。②把总反应根据电子得失情况，分成氧化反应、还原反应。

③氧化反应在负极发生，还原反应在正极发生，反应物和生成物对号入座，注意酸碱介质和水等参与反应。（ii）原电池的总反应式一般把正极和负极反应式相加而得。

（7）原电池的应用：①加快化学反应速率，如粗锌制氢气速率比纯锌制氢气快。②比较金属活动性强弱。③设计原电池。④金属的腐蚀。 2、化学电源基本类型：

①干电池：活泼金属作负极，被腐蚀或消耗。如：Cu－Zn原电池、锌锰电池。

②充电电池：两极都参加反应的原电池，可充电循环使用。如铅蓄电池、锂电池和银锌电池等。

③燃料电池：两电极材料均为惰性电极，电极本身不发生反应，而是由引入到两极上的物质发生反应，如H2、CH4燃料电池，其电解质溶液常为碱性试剂（KOH等）。

第三节化学反应的速率和限度

1、化学反应的速率

（1）概念：化学反应速率通常用单位时间内反应物浓度的减少量或生成物浓度的增加量（均取正值）来表示。计算公式：v(B)＝

?c(B)?t

＝

?n(B)V??t

①单位：mol/(L·s)或mol/(L·min)

②B为溶液或气体，若B为固体或纯液体不计算速率。 ③以上所表示的是平均速率，而不是瞬时速率。

④重要规律：（i）速率比＝方程式系数比（ii）变化量比＝方程式系数比（2）影响化学反应速率的因素：

内因：由参加反应的物质的结构和性质决定的（主要因素）。外因：①温度：升高温度，增大速率

②催化剂：一般加快反应速率（正催化剂）

③浓度：增加C反应物的浓度，增大速率（溶液或气体才有浓度可言） ④压强：增大压强，增大速率（适用于有气体参加的反应）

⑤其它因素：如光（射线）、固体的表面积（颗粒大小）、反应物的状态（溶剂）、原电池等也会改变化学

反应速率。

2、化学反应的限度——化学平衡

（1）在一定条件下，当一个可逆反应进行到正向反应速率与逆向反应速率相等时，反应物和生成物的浓度不再改变，达到表面上静止的一种“平衡状态”，这就是这个反应所能达到的限度，即化学平衡状态。化学平衡的移动受到温度、反应物浓度、压强等因素的影响。催化剂只改变化学反应速率，对化学平衡无影响。

②动：动态平衡，达到平衡状态时，正逆反应仍在不断进行。

① VA（正方向）＝VA（逆方向）或nA（消耗）＝nA（生成）（不同方向同一物质比较） ②各组分浓度保持不变或百分含量不变

③借助颜色不变判断（有一种物质是有颜色的）

④总物质的量或总体积或总压强或平均相对分子质量不变（前提：反应前后气体的总物质的量不相等的反应适用，即如对于反应xA＋yB

zC，x＋y≠z ）

第三章有机化合物

绝大多数含碳的化合物称为有机化合物，简称有机物。像CO、CO2、碳酸、碳酸盐等少数化合物，由于它们的组成和性质跟无机化合物相似，因而一向把它们作为无机化合物。

一、烃

1、烃的定义：仅含碳和氢两种元素的有机物称为碳氢化合物，也称为烃。 2、烃的分类：

饱和烃→烷烃（如：甲烷）

脂肪烃(链状

)

不饱和烃→烯烃（如：乙烯）芳香烃(含有苯环)（如：苯）

3、甲烷、乙烯和苯的性质比较：

篇三：高中化学必修2知识点归纳总结

高中化学必修2知识点归纳总结

第一单元原子核外电子排布与元素周期律

一、原子结构

质子（Z个）

原子核注意：

中子（N个）质量数(A)＝质子数(Z)＋中子数(N)

1.原子序数=核电荷数=质子数=原子的核外电子

核外电子（Z个）

★熟背前20号元素，熟悉1～20号元素原子核外电子的排布：

H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si p S Cl Ar K Ca 2.原子核外电子的排布规律：①电子总是尽先排布在能量最低的电子层里；②各电子层最多

容纳的电子数是2n；③最外层电子数不超过8个（K层为最外层不超过2个），次外层不超过18个，倒数第三层电子数不超过32个。

电子层：一（能量最低）二三四五六七对应表示符号： KL M N O p Q 3.元素、核素、同位素

元素：具有相同核电荷数的同一类原子的总称。

核素：具有一定数目的质子和一定数目的中子的一种原子。

同位素：质子数相同而中子数不同的同一元素的不同原子互称为同位素。(对于原子来说) 二、元素周期表 1.编排原则：

主族序数＝原子最外层电子数 2.结构特点：

核外电子层数元素种类

第一周期 12种元素

短周期第二周期 28种元素

周期第三周期 38种元素

元 7第四周期 418种元素素 7第五周期 518种元素周长周期第六周期 632种元素

期第七周期 7未填满（已有26种元素）表主族：ⅠA～ⅦA共7个主族

族副族：ⅢB～ⅦB、ⅠB～ⅡB，共7个副族（18个纵行）第Ⅷ族：三个纵行，位于ⅦB和ⅠB之间（16个族）零族：稀有气体三、元素周期律

2.同周期元素性质递变规律

方）

（Ⅱ）同主族比较：

比较粒子(包括原子、离子)半径的方法(“三看”)：（1）先比较电子层数，电子层数多的半径大。

（2）电子层数相同时，再比较核电荷数，核电荷数多的半径反而小。

元素周期表的应用

1、元素周期表中共有个 7周期，3 是短周期， 3是长周期。其中第7 周期也被称为不完全周期。

第二单元微粒之间的相互作用

化学键是直接相邻两个或多个原子或离子间强烈的相互作用。

极性共价键（简称极性键）：由不同种原子形成，A－B型，如，H－Cl。

共价键非极性共价键（简称非极性键）：由同种原子形成，A－A型，如，Cl－Cl。

2.电子式：

3、分子间作用力定义把分子聚集在一起的作用力。由分子构成的物质，分子间作用力是影响物质的熔沸点和溶解性的重要因素之一。

4、水具有特殊的物理性质是由于水分子中存在一种被称为氢键的分子间作用力。水分子间

的氢键，是一个水分子中的氢原子与另一个水分子中的氧原子间所形成的分子间作用力，这种作用力使得水分子间作用力增加，因此水具有较高的熔沸点。其他一些能形成氢键的分子有 HFH2O NH3 。

第三单元从微观结构看物质的多样性

专题二化学反应与能量变化

第一单元化学反应的速率与反应限度

1、化学反应的速率（1）概念：化学反应速率通常用单位时间内反应物浓度的减少量或生成物浓度的增加量（均

取正值）来表示。计算公式：v(B)＝

?c(B)?n(B)

＝ ?tV??t

①单位：mol/(L·s)或mol/(L·min)

内因：由参加反应的物质的结构和性质决定的（主要因素）。外因：①温度：升高温度，增大速率

②催化剂：一般加快反应速率（正催化剂）

③浓度：增加C反应物的浓度，增大速率（溶液或气体才有浓度可言）

④压强：增大压强，增大速率（适用于有气体参加的反应） ⑤其它因素：如光（射线）、固体的表面积（颗粒大小）、反应物的状态（溶剂）、原

电池等也会改变化学反应速率。

2、化学反应的限度——化学平衡

化学平衡的移动受到温度、反应物浓度、压强等因素的影响。催化剂只改变化学反应速率，对化学平衡无影响。

②动：动态平衡，达到平衡状态时，正逆反应仍在不断进行。

④总物质的量或总体积或总压强或平均相对分子质量不变（前提：反应前后气体的总物质的量不相等的反应适用，即如对于反应xA＋yB

zC，x＋y≠z ）

第二单元化学反应中的热量

文章来源：http://m.fw92.com/f/2390.html

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