高中数学必修一知识点总结

2020-08-03 高中数学必修一知识点总结高中数学必修四知识点总结

高中数学必修5知识点总结归纳。

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篇一：高中数学必修5等比数列知识点总结及题型归纳

等比数列知识点总结及题型归纳

1、等比数列的定义：2、通项公式：

an?a1qn?1?

a1n

q?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?，首项：a1；公比：q

an?q?naman

?q?q?0??n?2,且n?N*?，q称为公比 an?1

推广：an?amqn?m?qn?m?3、等比中项：

（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2?

ab或A?注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?1 4、等比数列的前n项和Sn公式：

（1）当q?1时，Sn?na1 （2）当q?1时，Sn?

a1?1?qn?1?q

a1?anq

1?q

a1a

?1qn?A?A?Bn?ABn?A（A,B,A,B为常数） 1?q1?q

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的n，都有an?1?qan或

an?1

?q(q为常数，an?0)?{an}为等比数列 an

（2）等比中项：an2?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}为等比数列（3）通项公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}为等比数列

6、等比数列的证明方法：

依据定义：若n?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列

an?17、等比数列的性质：

（2）对任何m,n?N*，在等比数列{an}中，有an?amqn?m。

（3）若m?n?s?t(m,n,s,t?N*)，则an?am?as?at。特别的，当m?n?2k时，得an?am?ak2注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???

（4）数列{an}，{bn}为等比数列，则数列{，{k?an}，{ank}，{k?an?bn}，n（k为非零

bnan

常数）均为等比数列。

（5）数列{an}为等比数列，每隔k(k?N*)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等比数列（6）如果{an}是各项均为正数的等比数列，则数列{logaan}是等差数列（7）若{an}为等比数列，则数列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比数列

（8）若{an}为等比数列，则数列a1?a2?????an，an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比数列

a1?0，则{an}为递增数列{（9）①当q?1时，a1?0，则{an}为递减数列

a1?0，则{an}为递减数列{②当0q?1时，a1?0，则{an}为递增数列

③当q?1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当q?0时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列{an}中，当项数为2n(n?N*)时，

S奇1

? S偶q

二、考点分析

考点一：等比数列定义的应用

1、数列?an?满足an??an?1?n?2?，a1?，则a4?_________．

2、在数列?an?中，若a1?1，an?1?2an?1?n?1?，则该数列的通项an?______________．考点二：等比中项的应用

1、已知等差数列?an?的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2?（） A．?4 B．?6C．?8 D．?10 2、若a、b、c成等比数列，则函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交点的个数为（） A．0

B．1 C．2 D．不确定

3、已知数列?an?为等比数列，a3?2，a2?a4?，求?an?的通项公式．

考点三：等比数列及其前n项和的基本运算

291

1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（）

383

A．3 B．4C．5 D．6

2、已知等比数列?an?中，a3?3，a10?384，则该数列的通项an?_________________． 3、若?an?为等比数列，且2a4?a6?a5，则公比q?________． 4、设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则 A．

2a1?a2

的值为（）

2a3?a4

111 B． C． D．1 428考点四：等比数列及其前n项和性质的应用

1、在等比数列?an?中，如果a6?6，a9?9，那么a3为（）

316

C． D．2 29

2、如果?1，a，b，c，?9成等比数列，那么（） A．b?3，ac?9 B．b??3，ac?9 C．b?3，ac??9 D．b??3，ac??9

A．4 B．

3、在等比数列?an?中，a1?1，a10?3，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于（） A．81

．C

D．243

4、在等比数列?an?中，a9?a10?a?a?0?，a19?a20?b，则a99?a100等于（）

b9b10?b??b?A．8B．??C．9D．??

aa?a??a?

5、在等比数列?an?中，a3和a5是二次方程x2?kx?5?0的两个根，则a2a4a6的值为（） A．25

．

．?

6、若?an?是等比数列，且an?0，若a2a4?2a3a5?a4a6?25，那么a3?a5的值等于?S,(n?1)

考点五：公式an??1的应用

?Sn?Sn?1,(n?2)

1．等比数列前n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为( )

A.(2n-1)2 B.(2n-1)2 C.4n-1 D.(4n-1)

2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+r，那么r的值为______________.

3．设数列{an}的前n项和为Sn且S1=3，若对任意的n∈N*都有Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项及递推关系式an+1=f(an); (2)求{an}的通项公式;

(3)求数列{an}的前n项和Sn.

篇二：高中数学必修一至必修五知识点总结完整版

高中数学必修1知识点总结

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ ? } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2．集合的表示方法：列举法与描述法。

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集 N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32}

4、集合的分类：

（1）．有限集含有有限个元素的集合

（2）．无限集含有无限个元素的集合

（3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A? B(或B? A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集与补集

（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

四、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点p(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．集合C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ p(x,y) | y= f(x) , x∈A },图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

(2) 画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点p(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法（请参考必修4三角函数）

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3)作用：

1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。

4．了解区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

5．什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→ B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→ B” 给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应

法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值.

补充一：分段函数（参见课本p24-25）

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g 的复合函数。

例如:y=2sinxy=2cos(2x+1)

7．函数单调性

（1）．增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当ab时，都有f(a)f(b)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）

如果对于区间D上的任意两个自变量的值a，b，当ab 时，都有f(a)＞f(b)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量a，b；当ab时，总有f(a)f(b) 。

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：任取a，b∈D，且ab；2 作差f(a)－f(b)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(a)－f(b)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关

注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

8．函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

（1）、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值.（2）、利用图象求函数的最大（小）值（3）、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

篇三：人教版数学必修五知识点总结

第一章解三角形

1、内角和定理：（1）三角形三角和为?，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．（2）锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正??

2、正弦定理：???2R（R为三角形外接圆的半径）． (1)a:b:c?sinA:sinB:sinC;(2)a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC

（3）解三角形：已知三角形的几个元素求另外几个元素的过程。

可求其它边和角?已知两角和任意一边， ?，可求其它元素?已知两边和一边的对角

注意：已知两边一对角，求解三角形，若用正弦定理，则务必注意可能有两解．

?b2?c2?a2

?cosA?2bc?a2?b2?c2?2bccosA?222a?c?b??2223、余弦定理：（求边）?b?a?c?2accosB 或（求角）?cosB?2ac??c2?a2?b2?2abcosC222??cosC?a?b?c

?2ab?

已知两边一角求第三边??．已知三边求所有三个角（注:常用余弦定理鉴定三角形的类型）??已知两边和一边对角，求其它?

?1?2absinC

?1abc?14、三角形面积公式：S?aha??bcsinA?． 224R??1acsinB??2

5、解三角形应用

（1）在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角。

（2）从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫方位角。

（3）坡面与水平面所成的二面角度数的正切值叫做坡度。

（4）解斜三角形应用题的一般步骤：

分析→建模→求解→检验

第二章数列

1．数列的通项、数列的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的关系：an?,(n?1)?SS?S,(n?2)1

nn?1（必要时请分类讨论）．

注意：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1；an?

2．等差数列{an}中：

（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性． anan?1a ????2?a1．an?1an?2a1

?d?0?数列单调递增?，可知d的取值为d?R. ?d?0?数列为常数列

?d?0?数列单调递减?

（2）an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d；p?q?m?n?ap?aq?am?an．

（3）??1an??2bn?、{kan}也成等差数列．

（4）在等差数列{an}中，若am?n,an?m(m?n),则am?n?0.

（5）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?仍成等差数列．

（6）Sn?n(a1?an)n(n?1)ddSd，Sn?n2?(a1?)n，an?2n?1，，Sn?na1?。 2n?12222

amS2m?1?. bmT2m?1?an??（7）若Sn,Tn分别为等差数列,bn?的前项和，则两数列第m项之比

（8）若?an?为等差数列，则其前m项和、中间m项和、后m项和Sm,S2m?Sm,S3m?S2m成等差数列。

（9）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；

“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和；

（10）两数的等差中项惟一存在．在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解．

（11）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法（也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式）．

3．等比数列{an}中：

（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的单调性．

（2）an?a1qn?1?amqn?m； p?q?m?n?bp?bq?bm?bn．

（3）{an}、{bn}成等比数列{|an|}、an,??a???

a1?、，??{ka}ab??b2

?n?nnn??成等比数列．

?n?n

（4）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?成等比数列．

?na1 (q?1)?na1 (q?1)????a1n（5）Sn??a1?anqa1(1?qn)． a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1?q1?q1?q??

特别：an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b2???abn?2?bn?1)．

（6）若?an?为等比数列，则其前m项和、中间m项和、后m项和Sm,S2m?Sm,S3m?S2m成等比数列。

（7）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；

（8）有限等比数列中，若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和．

（9）等比中项要么不存在，要么仅当实数a,b

同号时存在，且必有一对G?

（10）判定是否是等比数列的方法：定义法、中项法、通项法、和式法。

4．等差数列与等比数列的联系

（1）如果数列{an}成等差数列，那么数列{An}（An总有意义）必成等比数列．

（2）如果数列{an}成等比数列，那么数列{loga|an|}(a?0,a?1)必成等差数列．

（3）如果数列{an}既成等差又成等比，那么数列{an}是非零常数数列；但反之不成立。

（4）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，

5．数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），

②等比数列求和公式（三种形式）， aa

2222③1?2?3???n?n(n?1)，1?2?3???n?n(n?1)(2n?1)，26

1?3?5???(2n?1)?n2，1?3?5???(2n?1)?(n?1)2．

（2）分组求和法：常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．

（3）倒序相加法；（4）错位相减法；

（5）裂项相消法： ①??， ②?(?)，特别声明：?运用等比数列求和公式，务必检查公比与1的关系，必要时分类讨论．

三、不等式

1．（1）求不等式的解集，务必用集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．

（2）解分式不等式f?x??a?a?0?（移项通分，等价为分子分母相乘大于或小于0）； gx（3；

（4）解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论．注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集．

2．利用重要不等式a?b?2ab 以及变式ab?()等求函数的最值时，务必注意a，2

b?R，且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值（一正二定三相等）．

???3．

2??

a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）

4．比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法

5．含绝对值不等式的性质： 222

a、b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；

a、b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|．

6．不等式的恒成立问题

若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A

若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B

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高中数学数列知识点总结

篇一：高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳

1. 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sn?

?a1?an?n?na

n?n?1?

d 2

性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m?1

bmT2m?1

（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界

项，

?an?0

即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.

a?0?n?1?a?0

当a1?0，d?0，由?n可得Sn达到最小值时的n值.

?an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?

，有

S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)

S偶?S奇?nd，

S奇S偶

. an?1

，有

（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an?

S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)， S奇?SS奇偶?an，

nn?1

. 偶

2. 等比数列的定义与性质

定义：

an?1

?q（q为常数，q?0），an?1an?a1qn

. 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?

xy，或G?

?na1(q?1)前n项和：S?

n???

a1?1?qn?（要注意！）

?1?q

(q?1)性质：?an?是等比数列

（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq

（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？

n?1时，a1?S1；

n?2时，an?Sn?Sn?1.

3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法

如：数列?a12?11

n?，a122a2?……?2

nan?2n?5，求an

解 n?1时，1

2a1?2?1?5，∴a1?14 n?2时，12a?11

122a2?……?2

n?1an?1?2n?1?5 ①—②得：1n?1

?14(n?1)2nan?2，∴an?2，∴an???

2n?1(n?2) ［练习］数列?a5

n?满足Sn?Sn?1?3

an?1，a1?4，求an

注意到aSn?1

n?1?Sn?1?Sn，代入得

S?4又S1?4，∴?Sn?是等比数列，n

；

①

②

Sn?4n

n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3·4n?1

（2）叠乘法

an 如：数列?an?中，a1?3n?1?，求an

ann?1

解

3aa1a2a312n?1

，∴n?又a1?3，∴an?……n?……

n. a1na1a2an?123n

（3）等差型递推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

a3?a2?f(3)??

n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)

…………?an?an?1?f(n)??

a2?a1?f(2)

∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) ［练习］数列?an?中，a1?1，an?3（4）等比型递推公式

n?1

?an?1?n?2?，求an（

an?

3?1??2）

an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）

可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?

ddd??

，c为公比的等比数列，∴?an??是首项为a1?

c?1c?1c?1??

∴an?

dd?n?1d?n?1d??

，∴ ??a1?·ca?a?c?n??1?

c?1?c?1?c?1?c?1?

（5）倒数法如：a1?1，an?1?

2an

，求an an?2

由已知得：

a?2111111?n??，∴?? an?12an2anan?1an2

?1?11111

·??n?1?， ∴??为等差数列，?1，公差为，∴?1??n?1?

2a1an22?an?

∴an?( 附：

2n?1

公式法、利用

an?

S1(n?1)

Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比

an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法

)

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求?

k?1akak?1

解：由

111?11?

??????d?0?

ak·ak?1akak?dd?akak?1?

?111?11?1??11??11?1??

?????????……??∴???????? ??

ak?1?d??a1a2??a2a3?k?1akak?1k?1d?ak?anan?1??

1?11?

??? d?a1an?1?

［练习］求和：1?

111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n

an?……?……，Sn?2?

n?1

（2）错位相减法

若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由

Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.

如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1

①

x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn ①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn

②

x?1时，Sn

1?x?nx???

?1?x?

1?x

，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?

n?n?1?

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

Sn?a1?a2?……?an?1?an?

?相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…

Sn?an?an?1?……?a2?a1?

［练习］已知f(x)?，则 2

1?x

?1?

f(1)?f(2)?f???f(3)?

?2??1?

f???f(4)??3?

?1?

f????4?

?1???x2x21x??1??由f(x)?f???????12222

x1?x1?x1?x???1?

1????x?

∴原式?f(1)??f(2)?

?(附：

?1???

f?????f(3)??2????1???

f?????f(4)??3???1?1??1

f?????1?1?1?3

2?4??2

a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写

与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条

篇二：高中数学数列知识点总结

五、数列

一、数列定义：

数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集N*（或它的有限子集{1,2,3,?,n}）上的函数f(n)，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为通常用an代替f(n)，于是数列的一般形式常记为a1,a2,?或简记为{an}，f(1),f(2),?；

其中an表示数列{an}的通项。

注意：（1）{an}与an是不同的概念，{an}表示数列a1,a2,?，而an表示的是数列的第n项；

（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，

它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。 S1(n?1)?

（3）anSnan??

S?S(n?2)n?1?n

如：已知{an}的Sn满足lg(Sn?1)?n(n?N)，求an。

二、等差数列、等比数列的性质：

如：（1）在等差数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n?

（2）在等比数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n? 另外，等差数列中还有以下性质须注意：

（1）等差数列{an}中，若an?m,am?n(m?n)，则am?n? （2）等差数列{an}中，若Sn?m,Sm?n(m?n)，则Sm?n?

（3）等差数列{an}中，若Sn?Sm(m?n)，则am?1?am?2???an?；Sm?n? ；（4）若Sp?Sq，则n?时，Sn最大。（5）若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，

则

ambm

?S______T______

；

ambn

S______T______

（6）项数为偶数2n的等差数列{an}，有S2n?

间的两项）

S偶?S奇?n(a1?a2n)

(an?an?1)（an与an?1为中

S奇S偶

项数为奇数2n?1的等差数列{an}，有S2n?1?(2n?1)an（an为中间项）

S奇?S偶?S奇S偶

?S奇?S偶?

等比数列中还有以下性质须注意：

（1）若{an}是等比数列，则{?an}(??0)，{|an|}也是等比数列，公比分别

（2）若{an}是等比数列，则{三、判定方法：

（1）等差数列的判定方法：

1an

，{an}也是等比数列，公比分别；；

①定义法：an?1?an?d或an?an?1?d(n?2)（d为常数）?{an}是等差数列 ②中项公式法：2an?1?an?an?2?{an}是等差数列

③通项公式法：an?pn?q（p,q为常数）?{an}是等差数列 ④前n项和公式法：Sn?An2?Bn（A,B为常数）?{an}是等差数列注意：①②是用来证明{an}（2）等比数列的判定方法：

①定义法：

an?1an

?q或

anan?1

?d(n?2)（q是不为零的常数）?{an}是等比数列

②中项公式法：an?1?an?an?2(anan?1an?2?0)?{an}是等差数列

③通项公式法：an?cq（c,q是不为零常数）?{an}是等差数列

④前n项和公式法：Sn?kq?k（k?

a1q?1

是常数）?{an}是等差数列

注意：①②是用来证明{an}四、数列的通项求法：（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，…… （2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。

①递推式为an?1?an?d及an?1?qan（d,q为常数）：直接运用等差（比）数列。 ②递推式为an?1?an?f(n)：迭加法如：已知{an}中a1?

，an?1?an?

14n?1

，求an

③递推式为an?1?f(n)an：迭乘法如：已知{an}中a1?2，an?1?

n?1n

an，求an

④递推式为an?1?pan?q（p,q为常数）：

?an?1?pan?q

构造法：Ⅰ、由?相减得(an?2?an?1)?p(an?1?an)，则

a?pa?qn?1?n?2

{an?1?an}为等比数列。

Ⅱ、设(an?1?t)?p(an?t)，得到pt?t?q，t?

为等比数列。

如：已知a1?1,an?1?2an?5，求an ⑤递推式为an?1?pan?qn（p,q为常数）：

两边同时除去qn?1得再用④法解决。如：已知{an}中，a1?

qp?1

，则{an?

qp?1

an?1q

n?1

anq

，令bn?

anq

，转化为bn?1?

bn?

，

，an?1?

1n?1

an?()，求an 32

⑥递推式为an?2?pan?1?qan（p,q为常数）：

将an?2?pan?1?qan变形为an?2?tan?1?s(an?1?tan)，可得出?

s,t，于是{an?1?tan}是公比为s的等比数列。

?s?t?p?st??q

解出

如：已知{an}中，a1?1,a2?2，an?2?

S1,n?1?

（3）公式法：运用an??

?Sn?Sn?1,n?2

an?1?

an，求an

①已知Sn?3n?5n?1，求an；②已知{an}中， Sn?3?2an，求an；

③已知{an}中，a1?1,an?五、数列的求和法：

2Sn

2Sn?1

(n?2)，求an

（1）公式法：

①等差（比）数列前n项和公式：②1?2?3???n?；

③1?2?3???n?（2）倒序相加（乘）法：

012n

如：①求和：Sn?Cn?2Cn?3Cn???(n?1)Cn；

2222

n(n?1)(2n?1)

；④1?2?3???n?[

3333

n(n?1)

]

篇三：高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳

1.数列的通项

求数列通项公式的常用方法：

（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与

项数n在变化过程中的联系，初步归纳公式。

（2）公式法：等差数列与等比数列。

?S1,(n?1)（3）利用Sn与an的关系求an：an?? S?S,(n?2)n?1?n

2. 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d（d为常数），通项：an?a1??n?1?d?am?(n?m)d

等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y

前n项和Sna1?an?n???na2n?n?1?d 1?2

性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，

Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d

Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，

?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值. ?an?1?0

?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值. a?0?n?1

（3）{kan}也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.

(5)a1?a2???am,am?1?am?1???a2m,a2m?1?a2m?1???a3m?仍成等差数列.

(8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；

3. 等比数列的定义与性质

定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1?amqn?m .an

等比中项：x、G、y成等比数列?G2?

xy，或G?

前n项和：

?na1 (q?1)?na1 (q?1)??Sn??a1?anqa1(1?qn)??a1n（要注意！） a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1?q1?q1?q??

性质：?an?是等比数列

（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq

（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn.

注意：由Sn求an时应注意什么？

n?1时，a1?S1；

n?2时，an?Sn?Sn?1.

（3）{|an|}、{kan}成等比数列；{an}、{bn}成等比数列?{anbn}成等比数列.

（4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.

（5）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?成等比数列.

（6）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等比数列，

（7）p?q?m?n?bp?bq?bm?bn；2m?p?q?bm2?bp?bqSm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm.

（8）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。.（9）等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如：?an?是公差为d的等差数列，求?1

k?1akak?1n

解：由

n111?11???????d?0? ak·ak?1akak?dd?akak?1?n?111?11?1??11??11?1??????∴????????????……????? aadaadaaaaaak?1kk?1k?1k?1?2?3?n?1???k?2?n??1

?1?11???? d?a1an?1?

［练习］求和：1?111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n

1an?……?……，Sn?2? n?1

（2）错位相减法

若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.

如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1

① x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn

①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn

x?1时，Sn ② ?1?x??nx?nn

?1?x?21?x，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?n?n?1? 2

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

Sn?a1?a2?……?an?1?an??相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?… Sn?an?an?1?……?a2?a1?

高中化学必修2知识点归纳总结

篇一：人教版化学必修2知识点归纳总结

高中化学必修2知识点归纳总结

第一单元原子核外电子排布与元素周期律

一、原子结构

质子（Z个）

原子核注意：

中子（N个）质量数(A)＝质子数(Z)＋中子数(N)

1.原子序数=核电荷数=质子数=原子的核外电子

核外电子（Z个）

★熟背前20号元素，熟悉1～20号元素原子核外电子的排布：

H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si p S Cl Ar K Ca 2.原子核外电子的排布规律：①电子总是尽先排布在能量最低的电子层里；②各电子层最多

容纳的电子数是2n；③最外层电子数不超过8个（K层为最外层不超过2个），次外层不超过18个，倒数第三层电子数不超过32个。

电子层：一（能量最低）二三四五六七对应表示符号： KL M N O p Q 3.元素、核素、同位素

元素：具有相同核电荷数的同一类原子的总称。

核素：具有一定数目的质子和一定数目的中子的一种原子。

同位素：质子数相同而中子数不同的同一元素的不同原子互称为同位素。(对于原子来说) 二、元素周期表 1.编排原则：

①按原子序数递增的顺序从左到右排列 ②将电子层数相同的各元素从左到右排成一横行。（周期序数＝原子的电子层数）．．．．．．．．③把最外层电子数相同的元素按电子层数递增的顺序从上到下排成一纵行。．．．．．．．．．．

主族序数＝原子最外层电子数 2.结构特点：

核外电子层数元素种类

第一周期 12种元素

短周期第二周期 28种元素

周期第三周期 38种元素

元 7第四周期 418种元素素 7第五周期 518种元素周长周期第六周期 632种元素

期第七周期 7未填满（已有26种元素）表主族：ⅠA～ⅦA共7个主族

族副族：ⅢB～ⅦB、ⅠB～ⅡB，共7个副族（18个纵行）第Ⅷ族：三个纵行，位于ⅦB和ⅠB之间（16个族）零族：稀有气体三、元素周期律

1.元素周期律：元素的性质（核外电子排布、原子半径、主要化合价、金属性、非金属性）随着核电荷数的递增而呈周期性变化的规律。元素性质的周期性变化实质是元素原子核外电．．．．．．．．．．子排布的周期性变化的必然结果。．．．．．．．．．

2.同周期元素性质递变规律

方）

第ⅦA族卤族元素：F ClBrIAt （F是非金属性最强的元素，位于周期表右上方） ★判断元素金属性和非金属性强弱的方法：（1）金属性强（弱）——①单质与水或酸反应生成氢气容易（难）；②氢氧化物碱性强（弱）；③相互置换反应（强制弱）Fe＋CuSO4＝FeSO4＋Cu。

（2）非金属性强（弱）——①单质与氢气易（难）反应；②生成的氢化物稳定（不稳定）；③最高价氧化物的水化物（含氧酸）酸性强（弱）；④相互置换反应（强制弱）2NaBr＋Cl2＝2NaCl＋Br2。

比较粒子(包括原子、离子)半径的方法(“三看”)：（1）先比较电子层数，电子层数多的半

径大。

（2）电子层数相同时，再比较核电荷数，核电荷数多的半径反而小。

元素周期表的应用

1、元素周期表中共有个 7周期，3 是短周期， 4是长周期。

2、在元素周期表中，ⅠA-ⅦA是主族元素，主族和0族由短周期元素、长周期元素共同组成。 ⅠB -ⅦB是副族元素，副族元素完全由长周期元素构成。 3、元素所在的周期序数= 电子层数，主族元素所在的族序数=最外层电子数，元素周期表是元素周期律的具体表现形式。在同一周期中，从左到右，随着核电荷数的递增，原子半径逐渐减小，原子核对核外电子的吸引能力逐渐增强，元素的金属性逐渐减弱，非金属性逐渐增强。在同一主族中，从上到下，随着核电荷数的递增，原子半径逐渐增大，电子层数逐渐增多，原子核对外层电子的吸引能力逐渐减弱，元素的金属性逐渐增强，非金属性逐渐减弱。

4、元素的结构决定了元素在周期表中的位置，元素在周期表中位置的反映了原子的结构和元素的性质特点。我们可以根据元素在周期表中的位置，推测元素的结构，预测元素的性质。元素周期表中位置相近的元素性质相似，人们可以借助元素周期表研究合成有特定性质的新物质。例如，在金属和非金属的分界线附近寻找半导体材料，在过渡元素中寻找各种优良的催化剂和耐高温、耐腐蚀材料。

第二单元微粒之间的相互作用

化学键是直接相邻两个或多个原子或离子间强烈的相互作用。

离子化合物：由离子键构成的化合物叫做离子化合物。（一定有离子键，可能有共价键）共价化合物：原子间通过共用电子对形成分子的化合物叫做共价化合物。（只有共价键一定没有离子键）

极性共价键（简称极性键）：由不同种原子形成，A－B型，如，H－Cl。

共价键

非极性共价键（简称非极性键）：由同种原子形成，A－A型，如，Cl－Cl。

2.电子式：

用电子式表示离子键形成的物质的结构与表示共价键形成的物质的结构的不同点：（1）电荷：用电子式表示离子键形成的物质的结构需标出阳离子和阴离子的电荷；而表示共价键形成的物质的结构不能标电荷。（2）[]（方括号）：离子键形成的物质中的阴离子需用方括号括起来，而共价键形成的物质中不能用方括号。

3、分子间作用力定义把分子聚集在一起的作用力。由分子构成的物质，分子间作用力是影响物质的熔沸点和溶解性的重要因素之一。

4、水具有特殊的物理性质是由于水分子中存在一种被称为氢键的分子间作用力。水分子间的氢键，是一个水分子中的氢原子与另一个水分子中的氧原子间所形成的分子间作用力，这种作用力使得水分子间作用力增加，因此水具有较高的熔沸点。其他一些能形成氢键的分子有 HFH2O NH3 。

第三单元从微观结构看物质的多样性

专题二化学反应与能量变化

第一单元化学反应的速率与反应限度

1、化学反应的速率（1）概念：化学反应速率通常用单位时间内反应物浓度的减少量或生成物浓度的增加量（均取正值）来表示。计算公式：v(B)＝

?c(B)?t

＝

?n(B)V??t

①单位：mol/(L·s)或mol/(L·min)

②B为溶液或气体，若B为固体或纯液体不计算速率。 ③以上所表示的是平均速率，而不是瞬时速率。 ④重要规律：（i）速率比＝方程式系数比（ii）变化量比＝方程式系数比（2）影响化学反应速率的因素：

内因：由参加反应的物质的结构和性质决定的（主要因素）。外因：①温度：升高温度，增大速率

②催化剂：一般加快反应速率（正催化剂）

③浓度：增加C反应物的浓度，增大速率（溶液或气体才有浓度可言）

④压强：增大压强，增大速率（适用于有气体参加的反应） ⑤其它因素：如光（射线）、固体的表面积（颗粒大小）、反应物的状态（溶剂）、原

电池等也会改变化学反应速率。

2、化学反应的限度——化学平衡

（1）在一定条件下，当一个可逆反应进行到正向反应速率与逆向反应速率相等时，反应物和生成物的浓度不再改变，达到表面上静止的一种“平衡状态”，这就是这个反应所能达到的限度，即化学平衡状态。

化学平衡的移动受到温度、反应物浓度、压强等因素的影响。催化剂只改变化学反应速率，对化学平衡无影响。

在相同的条件下同时向正、逆两个反应方向进行的反应叫做可逆反应。通常把由反应物向生成物进行的反应叫做正反应。而由生成物向反应物进行的反应叫做逆反应。

在任何可逆反应中，正方应进行的同时，逆反应也在进行。可逆反应不能进行到底，即是说可逆反应无论进行到何种程度，任何物质（反应物和生成物）的物质的量都不可能为0。（2）化学平衡状态的特征：逆、动、等、定、变。 ①逆：化学平衡研究的对象是可逆反应。

②动：动态平衡，达到平衡状态时，正逆反应仍在不断进行。

③等：达到平衡状态时，正方应速率和逆反应速率相等，但不等于0。即v正＝v逆≠0。 ④定：达到平衡状态时，各组分的浓度保持不变，各组成成分的含量保持一定。 ⑤变：当条件变化时，原平衡被破坏，在新的条件下会重新建立新的平衡。（3）判断化学平衡状态的标志：

① VA（正方向）＝VA（逆方向）或nA（消耗）＝nA（生成）（不同方向同一物质比较） ②各组分浓度保持不变或百分含量不变 ③借助颜色不变判断（有一种物质是有颜色的）

④总物质的量或总体积或总压强或平均相对分子质量不变（前提：反应前后气体的总物质的量不相等的反应适用，即如对于反应xA＋

zC，x＋y≠z ）

第二单元化学反应中的热量

原因：当物质发生化学反应时，断开反应物中的化学键要吸收能量，而形成生成物中的化学键要放出能量。化学键的断裂和形成是化学反应中能量变化的主要原因。一个确定的化学反应在发生过程中是吸收能量还是放出能量，决定于反应物的总能量与生成物的总能量的相对大小。E反应物总能量＞E生成物总能量，为放热反应。E反应物总能量＜E生成物总能量，为吸热反应。

2、常见的放热反应和吸热反应

☆ 常见的放热反应：①所有的燃烧与缓慢氧化 ② 酸碱中和反应

③ 大多数的化合反应 ④ 金属与酸的反应

⑤ 生石灰和水反应（特殊：C＋CO2

△

2CO是吸热反应）

⑥ 浓硫酸稀释、氢氧化钠固体溶解等

☆常见的吸热反应：①铵盐和碱的反应

如Ba(OH)2·8H2O＋NH4Cl＝BaCl2＋2NH3↑＋10H2O ②大多数分解反应如KClO3、KMnO4、CaCO3的分解等 ③ 以H2、CO、C为还原剂的氧化还原反应如：C(s)＋H2O(g)CO(g)＋H2(g)。④ 铵盐溶解等

3.产生原因：化学键断裂——吸热化学键形成——放热

△

篇二：高中化学必修2知识点归纳总结律

高中化学必修2知识点归纳总结

第一章物质结构元素周期律

一、原子结构

质子（Z个）

原子核注意：

中子（N个）

质量数(A)＝质子数(Z)＋中子数(N)

1. 原子序数=核电荷数=质子数=原子的核外电子数

核外电子（Z个） ★熟背前20号元素，熟悉1～20号元素原子核外电子的排布：

H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si p S Cl Ar K Ca

2.原子核外电子的排布规律：①电子总是尽先排布在能量最低的电子层里；②各电子层最多容纳的电子数是2n2；③最外层电子数不超过8个（K层为最外层不超过2个），次外层不超过18个，倒数第三层电子数不超过32个。

电子层：一（能量最低）二三四五六七

对应表示符号： KL M N O p Q 3.元素、核素、同位素

元素：具有相同核电荷数的同一类原子的总称。

核素：具有一定数目的质子和一定数目的中子的一种原子。

同位素：质子数相同而中子数不同的同一元素的不同原子互称为同位素。(对于原子来说) 二、元素周期表 1.编排原则：

主族序数＝原子最外层电子数 2.结构特点：

核外电子层数元素种类

第一周期 12种元素

短周期第二周期 28种元素

周期第三周期 38种元素

元 7第四周期 418种元素素 7第五周期 518种元素周长周期第六周期 632种元素

期第七周期 7未填满（已有26种元素）表主族：ⅠA～ⅦA共7个主族

族副族：ⅢB～ⅦB、ⅠB～ⅡB，共7个副族（18个纵行）第Ⅷ族：三个纵行，位于ⅦB和ⅠB之间（16个族）零族：稀有气体三、元素周期律

1.元素周期律：元素的性质（核外电子排布、原子半径、主要化合价、金属性、非金属性）随着核电荷数的递增而呈周期性变化的规律。元素性质的周期性变化实质是元素原子核外电子排布的周期性变化的必然结果。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2.同周期元素性质递变规律

第ⅦA族卤族元素：F ClBrIAt（F是非金属性最强的元素，位于周期表右上方） ★判断元素金属性和非金属性强弱的方法：

（1）金属性强（弱）——①单质与水或酸反应生成氢气容易（难）；②氢氧化物碱性强（弱）；③相互置换反应（强制弱）Fe＋CuSO4＝FeSO4＋Cu。

（2）非金属性强（弱）——①单质与氢气易（难）反应；②生成的氢化物稳定（不稳定）；③最高价氧化物的水化物（含氧酸）酸性强（弱）；④相互置换反应（强制弱）2NaBr＋Cl2＝2NaCl＋Br2。（Ⅰ）同周期比较：

（Ⅲ）

（2）电子层数相同时，再比较核电荷数，核电荷数多的半径反而小。

四、化学键

化学键是相邻两个或多个原子间强烈的相互作用。 1.离子键与共价键的比较

离子化合物：由离子键构成的化合物叫做离子化合物。（一定有离子键，可能有共价键）共价化合物：原子间通过共用电子对形成分子的化合物叫做共价化合物。（只有共价键）

极性共价键（简称极性键）：由不同种原子形成，A－B型，如，H－Cl。共价键

非极性共价键（简称非极性键）：由同种原子形成，A－A型，如，Cl－Cl。

2.电子式：

第二章化学反应与能量

第一节化学能与热能

2、常见的放热反应和吸热反应

常见的放热反应：①所有的燃烧与缓慢氧化。②酸碱中和反应。③金属与酸反应制取氢气。

④大多数化合反应（特殊：C＋CO2

△

2CO是吸热反应）。

△

常见的吸热反应：①以C、H2、CO为还原剂的氧化还原反应如：C(s)＋H2O(g)

③大多数分解反应如KClO3、KMnO4、CaCO3的分解等。

CO(g)＋H2(g)。

②铵盐和碱的反应如Ba(OH)2·8H2O＋NH4Cl＝BaCl2＋2NH3↑＋10H2O

[思考]一般说来，大多数化合反应是放热反应，大多数分解反应是吸热反应，放热反应都不需要加热，吸热反应

都需要加热，这种说法对吗？试举例说明。

点拔：这种说法不对。如C＋O2＝CO2的反应是放热反应，但需要加热，只是反应开始后不再需要加热，反应放出的热量可以使反应继续下去。Ba(OH)2·8H2O与NH4Cl的反应是吸热反应，但反应并不需要加热。

第二节化学能与电能

1、化学能转化为电能的方式： 2、原电池原理

（1）概念：把化学能直接转化为电能的装置叫做原电池。

（2）原电池的工作原理：通过氧化还原反应（有电子的转移）把化学能转变为电能。

（3）构成原电池的条件：（1）电极为导体且活泼性不同；（2）两个电极接触（导线连接或直接接触）；（3）两个相互连接的电极插入电解质溶液构成闭合回路。

（4）电极名称及发生的反应：

负极：较活泼的金属作负极，负极发生氧化反应，

－

电极反应式：较活泼金属－ne＝金属阳离子负极现象：负极溶解，负极质量减少。

正极：较不活泼的金属或石墨作正极，正极发生还原反应，电极反应式：溶液中阳离子＋ne－＝单质

正极的现象：一般有气体放出或正极质量增加。

（5）原电池正负极的判断方法： ①依据原电池两极的材料：

较活泼的金属作负极（K、Ca、Na太活泼，不能作电极）；较不活泼金属或可导电非金属（石墨）、氧化物（MnO2）等作正极。

②根据电流方向或电子流向：（外电路）的电流由正极流向负极；电子则由负极经外电路流向原电池的正极。 ③根据内电路离子的迁移方向：阳离子流向原电池正极，阴离子流向原电池负极。 ④根据原电池中的反应类型：

负极：失电子，发生氧化反应，现象通常是电极本身消耗，质量减小。正极：得电子，发生还原反应，现象是常伴随金属的析出或H2的放出。

（6）原电池电极反应的书写方法：

（i）原电池反应所依托的化学反应原理是氧化还原反应，负极反应是氧化反应，正极反应是还原反应。因此书写电极反应的方法归纳如下：

①写出总反应方程式。②把总反应根据电子得失情况，分成氧化反应、还原反应。

③氧化反应在负极发生，还原反应在正极发生，反应物和生成物对号入座，注意酸碱介质和水等参与反应。（ii）原电池的总反应式一般把正极和负极反应式相加而得。

（7）原电池的应用：①加快化学反应速率，如粗锌制氢气速率比纯锌制氢气快。②比较金属活动性强弱。③设计原电池。④金属的腐蚀。 2、化学电源基本类型：

①干电池：活泼金属作负极，被腐蚀或消耗。如：Cu－Zn原电池、锌锰电池。

②充电电池：两极都参加反应的原电池，可充电循环使用。如铅蓄电池、锂电池和银锌电池等。

③燃料电池：两电极材料均为惰性电极，电极本身不发生反应，而是由引入到两极上的物质发生反应，如H2、CH4燃料电池，其电解质溶液常为碱性试剂（KOH等）。

第三节化学反应的速率和限度

1、化学反应的速率

（1）概念：化学反应速率通常用单位时间内反应物浓度的减少量或生成物浓度的增加量（均取正值）来表示。计算公式：v(B)＝

?c(B)?t

＝

?n(B)V??t

①单位：mol/(L·s)或mol/(L·min)

②B为溶液或气体，若B为固体或纯液体不计算速率。 ③以上所表示的是平均速率，而不是瞬时速率。

④重要规律：（i）速率比＝方程式系数比（ii）变化量比＝方程式系数比（2）影响化学反应速率的因素：

内因：由参加反应的物质的结构和性质决定的（主要因素）。外因：①温度：升高温度，增大速率

②催化剂：一般加快反应速率（正催化剂）

③浓度：增加C反应物的浓度，增大速率（溶液或气体才有浓度可言） ④压强：增大压强，增大速率（适用于有气体参加的反应）

⑤其它因素：如光（射线）、固体的表面积（颗粒大小）、反应物的状态（溶剂）、原电池等也会改变化学

反应速率。

2、化学反应的限度——化学平衡

（1）在一定条件下，当一个可逆反应进行到正向反应速率与逆向反应速率相等时，反应物和生成物的浓度不再改变，达到表面上静止的一种“平衡状态”，这就是这个反应所能达到的限度，即化学平衡状态。化学平衡的移动受到温度、反应物浓度、压强等因素的影响。催化剂只改变化学反应速率，对化学平衡无影响。

②动：动态平衡，达到平衡状态时，正逆反应仍在不断进行。

① VA（正方向）＝VA（逆方向）或nA（消耗）＝nA（生成）（不同方向同一物质比较） ②各组分浓度保持不变或百分含量不变

③借助颜色不变判断（有一种物质是有颜色的）

④总物质的量或总体积或总压强或平均相对分子质量不变（前提：反应前后气体的总物质的量不相等的反应适用，即如对于反应xA＋yB

zC，x＋y≠z ）

第三章有机化合物

绝大多数含碳的化合物称为有机化合物，简称有机物。像CO、CO2、碳酸、碳酸盐等少数化合物，由于它们的组成和性质跟无机化合物相似，因而一向把它们作为无机化合物。

一、烃

1、烃的定义：仅含碳和氢两种元素的有机物称为碳氢化合物，也称为烃。 2、烃的分类：

饱和烃→烷烃（如：甲烷）

脂肪烃(链状

)

不饱和烃→烯烃（如：乙烯）芳香烃(含有苯环)（如：苯）

3、甲烷、乙烯和苯的性质比较：

篇三：高中化学必修2知识点归纳总结

高中化学必修2知识点归纳总结

第一单元原子核外电子排布与元素周期律

一、原子结构

质子（Z个）

原子核注意：

中子（N个）质量数(A)＝质子数(Z)＋中子数(N)

1.原子序数=核电荷数=质子数=原子的核外电子

核外电子（Z个）

★熟背前20号元素，熟悉1～20号元素原子核外电子的排布：

H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si p S Cl Ar K Ca 2.原子核外电子的排布规律：①电子总是尽先排布在能量最低的电子层里；②各电子层最多

容纳的电子数是2n；③最外层电子数不超过8个（K层为最外层不超过2个），次外层不超过18个，倒数第三层电子数不超过32个。

电子层：一（能量最低）二三四五六七对应表示符号： KL M N O p Q 3.元素、核素、同位素

元素：具有相同核电荷数的同一类原子的总称。

核素：具有一定数目的质子和一定数目的中子的一种原子。

同位素：质子数相同而中子数不同的同一元素的不同原子互称为同位素。(对于原子来说) 二、元素周期表 1.编排原则：

主族序数＝原子最外层电子数 2.结构特点：

核外电子层数元素种类

第一周期 12种元素

短周期第二周期 28种元素

周期第三周期 38种元素

元 7第四周期 418种元素素 7第五周期 518种元素周长周期第六周期 632种元素

期第七周期 7未填满（已有26种元素）表主族：ⅠA～ⅦA共7个主族

族副族：ⅢB～ⅦB、ⅠB～ⅡB，共7个副族（18个纵行）第Ⅷ族：三个纵行，位于ⅦB和ⅠB之间（16个族）零族：稀有气体三、元素周期律

2.同周期元素性质递变规律

方）

（Ⅱ）同主族比较：

比较粒子(包括原子、离子)半径的方法(“三看”)：（1）先比较电子层数，电子层数多的半径大。

（2）电子层数相同时，再比较核电荷数，核电荷数多的半径反而小。

元素周期表的应用

1、元素周期表中共有个 7周期，3 是短周期， 3是长周期。其中第7 周期也被称为不完全周期。

第二单元微粒之间的相互作用

化学键是直接相邻两个或多个原子或离子间强烈的相互作用。

极性共价键（简称极性键）：由不同种原子形成，A－B型，如，H－Cl。

共价键非极性共价键（简称非极性键）：由同种原子形成，A－A型，如，Cl－Cl。

2.电子式：

3、分子间作用力定义把分子聚集在一起的作用力。由分子构成的物质，分子间作用力是影响物质的熔沸点和溶解性的重要因素之一。

4、水具有特殊的物理性质是由于水分子中存在一种被称为氢键的分子间作用力。水分子间

的氢键，是一个水分子中的氢原子与另一个水分子中的氧原子间所形成的分子间作用力，这种作用力使得水分子间作用力增加，因此水具有较高的熔沸点。其他一些能形成氢键的分子有 HFH2O NH3 。

第三单元从微观结构看物质的多样性

专题二化学反应与能量变化

第一单元化学反应的速率与反应限度

1、化学反应的速率（1）概念：化学反应速率通常用单位时间内反应物浓度的减少量或生成物浓度的增加量（均

取正值）来表示。计算公式：v(B)＝

?c(B)?n(B)

＝ ?tV??t

①单位：mol/(L·s)或mol/(L·min)

内因：由参加反应的物质的结构和性质决定的（主要因素）。外因：①温度：升高温度，增大速率

②催化剂：一般加快反应速率（正催化剂）

③浓度：增加C反应物的浓度，增大速率（溶液或气体才有浓度可言）

④压强：增大压强，增大速率（适用于有气体参加的反应） ⑤其它因素：如光（射线）、固体的表面积（颗粒大小）、反应物的状态（溶剂）、原

电池等也会改变化学反应速率。

2、化学反应的限度——化学平衡

化学平衡的移动受到温度、反应物浓度、压强等因素的影响。催化剂只改变化学反应速率，对化学平衡无影响。

②动：动态平衡，达到平衡状态时，正逆反应仍在不断进行。

④总物质的量或总体积或总压强或平均相对分子质量不变（前提：反应前后气体的总物质的量不相等的反应适用，即如对于反应xA＋yB

zC，x＋y≠z ）

第二单元化学反应中的热量

高中化学必修二知识点总结

篇一：高中化学必修2知识点归纳总结

高中化学必修2知识点归纳总结

第一单元原子核外电子排布与元素周期律

一、原子结构

质子（Z个）

原子核注意：

中子（N个）质量数(A)＝质子数(Z)＋中子数(N)

1.原子序数=核电荷数=质子数=原子的核外电子

核外电子（Z个）

★熟背前20号元素，熟悉1～20号元素原子核外电子的排布：

H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si p S Cl Ar K Ca 2.原子核外电子的排布规律：①电子总是尽先排布在能量最低的电子层里；②各电子层最多

容纳的电子数是2n；③最外层电子数不超过8个（K层为最外层不超过2个），次外层不超过18个，倒数第三层电子数不超过32个。

电子层：一（能量最低）二三四五六七对应表示符号： KL M N O p Q 3.元素、核素、同位素

元素：具有相同核电荷数的同一类原子的总称。

核素：具有一定数目的质子和一定数目的中子的一种原子。

同位素：质子数相同而中子数不同的同一元素的不同原子互称为同位素。(对于原子来说) 二、元素周期表 1.编排原则：

主族序数＝原子最外层电子数 2.结构特点：

核外电子层数元素种类

第一周期 12种元素

短周期第二周期 28种元素

周期第三周期 38种元素

元 7第四周期 418种元素素 7第五周期 518种元素周长周期第六周期 632种元素

期第七周期 7未填满（已有26种元素）表主族：ⅠA～ⅦA共7个主族

族副族：ⅢB～ⅦB、ⅠB～ⅡB，共7个副族（18个纵行）第Ⅷ族：三个纵行，位于ⅦB和ⅠB之间（16个族）零族：稀有气体三、元素周期律

2.同周期元素性质递变规律

方）

（Ⅱ）同主族比较：

比较粒子(包括原子、离子)半径的方法(“三看”)：（1）先比较电子层数，电子层数多的半径大。

（2）电子层数相同时，再比较核电荷数，核电荷数多的半径反而小。

元素周期表的应用

1、元素周期表中共有个 7周期，3 是短周期， 3是长周期。其中第7 周期也被称为不完全周期。

第二单元微粒之间的相互作用

化学键是直接相邻两个或多个原子或离子间强烈的相互作用。

极性共价键（简称极性键）：由不同种原子形成，A－B型，如，H－Cl。

共价键非极性共价键（简称非极性键）：由同种原子形成，A－A型，如，Cl－Cl。

2.电子式：

3、分子间作用力定义把分子聚集在一起的作用力。由分子构成的物质，分子间作用力是影响物质的熔沸点和溶解性的重要因素之一。

4、水具有特殊的物理性质是由于水分子中存在一种被称为氢键的分子间作用力。水分子间

第三单元从微观结构看物质的多样性

专题二化学反应与能量变化

第一单元化学反应的速率与反应限度

1、化学反应的速率（1）概念：化学反应速率通常用单位时间内反应物浓度的减少量或生成物浓度的增加量（均

取正值）来表示。计算公式：v(B)＝

?c(B)?n(B)

＝ ?tV??t

①单位：mol/(L·s)或mol/(L·min)

内因：由参加反应的物质的结构和性质决定的（主要因素）。外因：①温度：升高温度，增大速率

②催化剂：一般加快反应速率（正催化剂）

③浓度：增加C反应物的浓度，增大速率（溶液或气体才有浓度可言）

④压强：增大压强，增大速率（适用于有气体参加的反应） ⑤其它因素：如光（射线）、固体的表面积（颗粒大小）、反应物的状态（溶剂）、原

电池等也会改变化学反应速率。

2、化学反应的限度——化学平衡

化学平衡的移动受到温度、反应物浓度、压强等因素的影响。催化剂只改变化学反应速率，对化学平衡无影响。

②动：动态平衡，达到平衡状态时，正逆反应仍在不断进行。

④总物质的量或总体积或总压强或平均相对分子质量不变（前提：反应前后气体的总物质的量不相等的反应适用，即如对于反应xA＋yB

zC，x＋y≠z ）

第二单元化学反应中的热量

篇二：高一化学必修二知识点总结归纳总复习提纲

高一化学必修二知识点总结归纳总复习提纲

第一章物质结构元素周期律

一、原子结构

质子（Z个）

原子核注意：

中子（N个）质量数(A)＝质子数(Z)＋中子数(N)

1. 原子序数=核电荷数=质子数=原子的核外电子（Z个）

★熟背前20号元素，熟悉1～20号元素原子核外电子的排布：

H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si p S Cl Ar K Ca 2.原子核外电子的排布规律：①电子总是尽先排布在能量最低的电子层里；②各电子层

最多容纳的电子数是2n；③最外层电子数不超过8个（K层为最外层不超过2个），次外层不超过18个，倒数第三层电子数不超过32个。

电子层：一（能量最低）二三四五六七对应表示符号： KL M N O p Q 3.元素、核素、同位素

元素：具有相同核电荷数的同一类原子的总称。

核素：具有一定数目的质子和一定数目的中子的一种原子。

同位素：质子数相同而中子数不同的同一元素的不同原子互称为同位素。(对于原子来说)

二、元素周期表 1.编排原则：

主族序数＝原子最外层电子数 2.结构特点：

核外电子层数元素种类

第一周期 12种元素

短周期第二周期 28种元素

周期第三周期 38种元素

元 7第四周期 418种元素素 7第五周期 518种元素周长周期第六周期 632种元素

期第七周期 7未填满（已有26种元素）

表主族：ⅠA～ⅦA共

7个主族

族副族：ⅢB～ⅦB、ⅠB～ⅡB，共7个副族（18个纵行）第Ⅷ族：三个纵行，位于ⅦB和ⅠB之间（16个族）零族：稀有气体三、元素周期律

1.元素周期律：元素的性质（核外电子排布、原子半径、主要化合价、金属性、非金属性）随着核电荷数的递增而呈周期性变化的规律。元素性质的周期性变化实质是元素原．．．．．．子核外电子排布的周期性变化的必然结果。．．．．．．．．．．．．．期表左下方）

第ⅦA族卤族元素：F ClBrIAt（F是非金属性最强的元素，位于周期表右上方）

★判断元素金属性和非金属性强弱的方法：

（1）金属性强（弱）——①单质与水或酸反应生成氢气容易（难）；②氢氧化物碱性强（弱）；③相互置换反应（强制弱）Fe＋CuSO4＝FeSO4＋Cu。

比较粒子(包括原子、离子)半径的方法：（1）先比较电子层数，电子层数多的半径大。

（2）电子层数相同时，再比较核电荷数，核电荷数多的半径反而

小。

四、化学键

化学键是相邻两个或多个原子间强烈的相互作用。

共价化合物：原子间通过共用电子对形成分子的化合物叫做共价化合物。（只有共价键）

极性共价键（简称极性键）：由不同种原子形成，A－B型，如，H－Cl。

共价键

非极性共价键（简称非极性键）：由同种原子形成，A－A型，如，Cl－Cl。

2.电子式：

第二章化学反应与能量

第一节化学能与热能

常见的放热反应：①所有的燃烧与缓慢氧化。②酸碱中和反应。③金属与酸反应制取氢

气。

④大多数化合反应（特殊：C＋CO2

△

2CO是吸热反应）。

△

常见的吸热反应：①以C、H2、CO为还原剂的氧化还原反应如：C(s)＋H2O(g)＋H2(g)。

CO(g)

②铵盐和碱的反应如Ba(OH)2·8H2O＋NH4Cl＝BaCl2＋2NH3↑＋

10H2O

③大多数分解反应如KClO3、KMnO4、CaCO3的分解等。

[思考]一般说来，大多数化合反应是放热反应，大多数分解反应是吸热反应，放热反应

都不需要加热，吸热反应都需要加热，这种说法对吗？试举例说明。

点拔：这种说法不对。如

C＋O2＝CO2的反应是放热反应，但需要加热，只是反应开始后不再需要加热，反应放出的热量可以使反应继续下去。Ba(OH)2·8H2O与NH4Cl的反应是吸热反应，但反应并不需要加热。

第二节化学能与电能

（1）概念：把化学能直接转化为电能的装置叫做原电池。

（2）原电池的工作原理：通过氧化还原反应（有电子的转移）把化学能转变为电能。（3）构成原电池的条件：（1）电极为导体且活泼性不同；（2）两个电极接触（导线连接或直接接触）；（3）两个相互连接的电极插入电解质溶液构成闭合回路。（4）电极名称及发生的反应：

负极：较活泼的金属作负极，负极发生氧化反应，

－

电极反应式：较活泼金属－ne＝金属阳离子负极现象：负极溶解，负极质量减少。

正极：较不活泼的金属或石墨作正极，正极发生还原反应，

－

电极反应式：溶液中阳离子＋ne＝单质

正极的现象：一般有气体放出或正极质量增加。（5）原电池正负极的判断方法： ①依据原电池两极的材料：

较活泼的金属作负极（K、Ca、Na太活泼，不能作电极）；较不活泼金属或可导电非金属（石墨）、氧化物（MnO2）等作正极。 ②根据电流方向或电子流向：（外电路）的电流由正极流向负极；电子则由负极经外电

路流向原电池的正极。

③根据内电路离子的迁移方向：阳离子流向原电池正极，阴离子流向原电池负极。 ④根据原电池中的反应类型：

负极：失电子，发生氧化反应，现象通常是电极本身消耗，质量减小。

篇三：高中化学必修一必修二知识点总结

必修一知识点汇总

第一章从实验学化学................................................................................................................................... 2

一、常见物质的分离、提纯和鉴别 ............................................................................................................ 2

1．常用的物理方法——根据物质的物理性质上差异来分离。............................................................. 2 2、化学方法分离和提纯物质.............................................................................................................. 3 3、物质的鉴别 ................................................................................................................................... 4 二、常见事故的处理 ................................................................................................................................. 5 三、化学计量............................................................................................................................................ 5 第二章化学物质及其变化 .......................................................................................................................... 7

一、物质的分类 ........................................................................................................................................ 7 二、分散系相关概念 ................................................................................................................................. 7 三、胶体................................................................................................................................................... 8 四、离子反应.......................................................................................................................................... 10 第三章金属及其化合物 .................................................................................................................................. 16

一、金属的物理通性： ........................................................................................................................... 16 二、金属的化学性质： ........................................................................................................................... 16 三、金属化合物的性质： ........................................................................................................................ 17 四、金属及其化合物之间的相互转化 ...................................................................................................... 18 第四章非金属及其化合物.......................................................................................................................... 19

一、分类................................................................................................................................................. 19 二、本章知识结构梳理 ........................................................................................................................... 19

(一) 硅及其化合物 ........................................................................................................................... 19 (二) 氯............................................................................................................................................. 20 (三) 硫、氮 ..................................................................................................................................... 21

必修二知识点汇总

第一章物质结构元素周期律 .................................................................................................................... 23

一、原子结构.......................................................................................................................................... 23 二、元素周期表 ...................................................................................................................................... 23 三、元素周期律 ...................................................................................................................................... 23 四、化学键 ............................................................................................................................................. 24 第二章化学反应与能量 ............................................................................................................................... 25

第一节化学能与热能 ............................................................................................................................. 25 第二节化学能与电能 ............................................................................................................................. 26 第三节化学反应的速率和限度 ............................................................................................................... 26 第三章有机化合物 ...................................................................................................................................... 27

一、烃 .................................................................................................................................................... 27 二、烃的衍生物 ...................................................................................................................................... 29 三、基本营养物质................................................................................................................................... 30 第四章化学与可持续发展 ........................................................................................................................... 31

第一节开发利用金属矿物和海水资源..................................................................................................... 31

第二节化学与资源综合利用、环境保护 ................................................................................................. 32

第一章从实验学化学

一、常见物质的分离、提纯和鉴别

1．常用的物理方法——根据物质的物理性质上差异来分离。混合物的物理分离方法

可以用来分离和提纯几种可溶性固体的混合物。结晶的原理是根据混合物中各成分在某种溶剂里的溶解度的不同，通过蒸发减少溶剂或降低温度使溶解度变小，从而使晶体析出。加热蒸发皿使溶液蒸发时、要用玻璃棒不断搅动溶液，防止由于局部温度过高，造成液滴飞溅。当蒸发皿中出现较多的固体时，即停止加热，例如用结晶的方法分离NaCl和KNO3混合物。

ii、蒸馏蒸馏是提纯或分离沸点不同的液体混合物的方法。用蒸馏原理进行多种混合液体的分离，叫分馏。操作时要注意： ①在蒸馏烧瓶中放少量碎瓷片，防止液体暴沸。

②温度计水银球的位置应与支管底口下缘位于同一水平线上。 ③蒸馏烧瓶中所盛放液体不能超过其容积的2/3，也不能少于l/3。 ④冷凝管中冷却水从下口进，从上口出。

⑤加热温度不能超过混合物中沸点最高物质的沸点，例如用分馏的方法进行石油的分馏。

iii、分液和萃取分液是把两种互不相溶、密度也不相同的液体分离开的方法。萃取是利用溶质在互不相溶的溶剂里的溶解度不同，用一种溶剂把溶质从它与另一种溶剂所组成的溶液中提取出来的方法。选择的萃取剂应符合下列要求：和原溶液中的溶剂互不相溶；对溶质的溶解度要远大于原溶剂，并且溶剂易挥发。

在萃取过程中要注意： ①将要萃取的溶液和萃取溶剂依次从上口倒入分液漏斗，其量不能超过漏斗容积的2/3，塞好塞子进行振荡。 ②振荡时右手捏住漏斗上口的颈部，并用食指根部压紧塞子，以左手握住旋塞，同时用手指控制活塞，将漏斗倒转过来用力振荡。

③然后将分液漏斗静置，待液体分层后进行分液，分液时下层液体从漏斗口放出，上层液体从上口倒出。例如用四氯化碳萃取溴水里的溴。

iv、升华升华是指固态物质吸热后不经过液态直接变成气态的过程。利用某些物质具有升华的特性，将这种物质和其它受热不升华的物质分离开来，例如加热使碘升华，来分离I2和SiO2的混合物。

2、化学方法分离和提纯物质

对物质的分离可一般先用化学方法对物质进行处理，然后再根据混合物的特点用恰当的分离方法（见化学基本操作）进行分离。

用化学方法分离和提纯物质时要注意：

①最好不引入新的杂质； ②不能损耗或减少被提纯物质的质量 ③实验操作要简便，不能繁杂。用化学方法除去溶液中的杂质时，要使被分离的物质或离子尽可能除净，需要加入过量的分离试剂，在多步分离过程中，后加的试剂应能够把前面所加入的无关物质或离子除去。对于无机物溶液常用下列方法进行分离和提纯：

（1）生成沉淀法（2）生成气体法（3）氧化还原法（4）正盐和与酸式盐相互转化法（5）利用物质的两性除去杂质（6）离子交换法常见物质除杂方法

3、物质的鉴别

物质的检验通常有鉴定、鉴别和推断三类，它们的共同点是：依据物质的特殊性质和特征反应，选择适当的试剂和方法，准确观察反应中的明显现象，如颜色的变化、沉淀的生成和溶解、气体的产生和气味、火焰的颜色等，进行判断、推理。

② 几种重要阳离子的检验

（l）H+能使紫色石蕊试液或橙色的甲基橙试液变为红色。

（2）Na+、K+ 用焰色反应来检验时，它们的火焰分别呈黄色、浅紫色（通过钴玻片）。

（3）Ba2+ 能使稀硫酸或可溶性硫酸盐溶液产生白色BaSO4沉淀，且沉淀不溶于稀硝酸。

（4）Mg能与NaOH溶液反应生成白色Mg(OH)2沉淀，该沉淀能溶于NH4Cl溶液。（5）Al3+ 能与适量的NaOH溶液反应生成白色Al(OH)3絮状沉淀，该沉淀能溶于盐酸或过量的NaOH溶液。（6）Ag能与稀盐酸或可溶性盐酸盐反应，生成白色AgCl沉淀，不溶于稀 HNO3，但溶于氨水，生成［Ag(NH3)2］+。

（7）NH4+铵盐（或浓溶液）与NaOH浓溶液反应，并加热，放出使湿润的红色石蓝试纸变蓝的有刺激性气味NH3气体。

（8）Fe2+ 能与少量NaOH溶液反应，先生成白色Fe(OH)2沉淀，迅速变成灰绿色，最后变成红褐色Fe(OH)3沉淀。或向亚铁盐的溶液里加入KSCN溶液，不显红色，加入少量新制的氯水后，立即显红色。2Fe2++Cl2＝2Fe3++2Cl－

（9） Fe 能与 KSCN溶液反应，变成血红色 Fe(SCN)3溶液，能与 NaOH溶液反应，生成红褐色Fe(OH)3

3++

沉淀。

（10）Cu2+蓝色水溶液（浓的CuCl2溶液显绿色），能与NaOH溶液反应，生成蓝色的Cu(OH)2沉淀，加热后可转变为黑色的 CuO沉淀。含Cu2+溶液能与Fe、Zn片等反应，在金属片上有红色的铜生成。 ③ 几种重要的阴离子的检验

（1）OH－能使无色酚酞、紫色石蕊、橙色的甲基橙等指示剂分别变为红色、蓝色、黄色。

（2）Cl－能与硝酸银反应，生成白色的AgCl沉淀，沉淀不溶于稀硝酸，能溶于氨水，生成[Ag(NH3)2]+。

－

（3）Br能与硝酸银反应，生成淡黄色AgBr沉淀，不溶于稀硝酸。

（4）I 能与硝酸银反应，生成黄色AgI沉淀，不溶于稀硝酸；也能与氯水反应，生成I2，使淀粉溶液变蓝。（5）SO4 能与含Ba溶液反应，生成白色BaSO4沉淀，不溶于硝酸。

（6）SO32－浓溶液能与强酸反应，产生无色有刺激性气味的SO2气体，该气体能使品红溶液褪色。能与BaCl2溶液反应，生成白色BaSO3沉淀，该沉淀溶于盐酸，生成无色有刺激性气味的SO2气体。

2－

（7）S能与pb(NO3)2溶液反应，生成黑色的pbS沉淀。

（8）CO32－能与BaCl2溶液反应，生成白色的BaCO3沉淀，该沉淀溶于硝酸（或盐酸），生成无色无味、能使澄清石灰水变浑浊的CO2气体。

（9）HCO3－取含HCO3－盐溶液煮沸，放出无色无味CO2气体，气体能使澄清石灰水变浑浊或向HCO3－盐酸溶液里加入稀MgSO4溶液，无现象，加热煮沸，有白色沉淀 MgCO3生成，同时放出 CO2气体。（10）pO43－含磷酸根的中性溶液，能与AgNO3反应，生成黄色Ag3pO4沉淀，该沉淀溶于硝酸。（11）NO 浓溶液或晶体中加入铜片、浓硫酸加热，放出红棕色气体。二、常见事故的处理

三、化学计量 ①物质的量

定义：表示一定数目微粒的集合体符号n 单位摩尔符号 mol

阿伏加德罗常数：0.012kgC-12中所含有的碳原子数。用NA表示。约为6.02x1023 微粒与物质的量公式：n=

NNA

3－2－

－

②摩尔质量：单位物质的量的物质所具有的质量用M表示单位：g/mol 数值上等于该物质的分子量质量与物质的量

高中生物必修二知识点总结

篇一：高中生物必修二知识点总结(人教版复习提纲)期末必备

生物必修2复习知识点

第一章遗传因子的发现第1、2节孟德尔的豌豆杂交实验

一、相对性状

性状：生物体所表现出来的的形态特征、生理生化特征或行为方式等。相对性状：同一种生物的同一种性状的不同表现类型。

1、显性性状与隐性性状

显性性状：具有相对性状的两个亲本杂交，F1表现出来的性状。隐性性状：具有相对性状的两个亲本杂交，F1没有表现出来的性状。附：性状分离：在杂种后代中出现不同于亲本性状的现象） 2、显性基因与隐性基因

显性基因：控制显性性状的基因。隐性基因：控制隐性性状的基因。

附：基因：控制性状的遗传因子（ DNA分子上有遗传效应的片段p67）

等位基因：决定1对相对性状的两个基因（位于一对同源染色体上的相同位置上）。 3、纯合子与杂合子

纯合子：由相同基因的配子结合成的合子发育成的个体（能稳定的遗传，不发生性状分离）：

显性纯合子（如AA的个体）隐性纯合子（如aa的个体）

杂合子：由不同基因的配子结合成的合子发育成的个体（不能稳定的遗传，后代会发生性状分离）

4、表现型与基因型

表现型：指生物个体实际表现出来的性状。基因型：与表现型有关的基因组成。（关系：基因型＋环境 → 表现型）

5、杂交与自交

杂交：基因型不同的生物体间相互交配的过程。自交：基因型相同的生物体间相互交配的过程。（指植物体中自花传粉和雌雄异花植物的同株受粉）

附：测交：让F1与隐性纯合子杂交。（可用来测定F1的基因型，属于杂交）二、孟德尔实验成功的原因：

（1）正确选用实验材料：㈠豌豆是严格自花传粉植物（闭花授粉），自然状态下一般是纯种

㈡具有易于区分的性状（2）由一对相对性状到多对相对性状的研究（从简单到复杂）

（3）对实验结果进行统计学分析（4）严谨的科学设计实验程序：假说-------演绎法 ★三、孟德尔豌豆杂交实验

（一）一对相对性状的杂交：p：高茎豌豆×矮茎豌豆 DD×dd↓ ↓F1：高茎豌豆 F1： Dd↓自交↓自交F2：高茎豌豆矮茎豌豆 F2：DD Dd dd 3 ： 1 1 ：2 ：

基因分离定律的实质：在减数分裂形成配子过程中，等位基因随同源染色体的分开而分离，分别进入到两个配子中，独立地随配子遗传给后代（二）两对相对性状的杂交：p：黄圆×绿皱 p：YYRR×yyrr↓ ↓F1：黄圆F1： YyRr↓自交↓自交

F2：黄圆绿圆黄皱绿皱 F2：Y--R-- yyR-- Y--rr yyrr9 ：3： 3 ： 1 9 ： 3 ： 3 ：1 在F2 代中：

4 种表现型：

两种亲本型：黄圆9/16 绿皱1/16两种重组型：黄皱3/16 绿皱3/16

9种基因型：纯合子YYRR yyrrYYrr yyRR 共4种×1/16 半纯半杂 YYRryyRrYyRRYyrr共4种×2/16 完全杂合子 YyRr 共1种×4/16 基因自由组合定律的实质：在减数分裂过程中，同源染色体上的等位基因彼此分离的同时，非同源染色体上的非等位基因自由组合。

第二章基因和染色体的关系

第一节减数分裂

一、减数分裂的概念

减数分裂(meiosis)是进行有性生殖的生物形成生殖细胞过程中所特有的细胞分裂方式。在减数分裂过程中，染色体只复制一次，而细胞连续分裂两次，新产生的生殖细胞中的染色体数目比体细胞减少一半。

（注：体细胞主要通过有丝分裂产生，有丝分裂过程中，染色体复制一次，细胞分裂一次，新产生的细胞中的染色体数目与体细胞相同。）二、减数分裂的过程

1、精子的形成过程：

? 减数第一次分裂

间期：染色体复制(包括DNA复制和蛋白质的合成)。

前期：同源染色体两两配对（称联会），形成四分体。四分体中的非姐妹染色单体之间常常交叉互换。

中期：同源染色体成对排列在赤道板上（两侧）。后期：同源染色体分离；非同源染色体自由组合。

末期：细胞质分裂，形成2个子细胞。

? 减数第二次分裂（无同源染．．．．

色体）．．

前期：染色体排列散乱。

中期：每条染色体的着丝粒都排列在细胞中央的赤道板上。

后期：姐妹染色单体分开，成为两条子染色体。并分别移向细胞两极。末期：细胞质分裂，每个细胞形成2个子细胞，最终共形成4个子细胞。 2、卵细胞的形成过程：卵巢

三、精子与卵细胞的形成过程的比较

四、注意：

（1）同源染色体：①形态、大小基本相同；②一条来自父方，一条来自母方。

（2）精原细胞和卵原细胞的染色体数目与体细胞相同。因此，它们属于体细胞，通过有丝分裂

的方式增殖，但它们又可以进行减数分裂形成生殖细胞。（3）减数分裂过程中染色体数目减半发生在减数第一次分裂，原因是同源染色体分离并进．．．．．．．．．．．．．．．．入不同的子细胞。所以减数第二次分裂过程中无同源染色体。．．．．．．．．．．．．．（4）减数分裂过程中染色体和DNA的变化规律

（5）减数分裂形成子细胞种类：

假设某生物的体细胞中含n对同源染色体，则：

它的精（卵）原细胞进行减数分裂可形成2种精子（卵细胞）；

它的1个精原细胞进行减数分裂形成2种精子。它的1个卵原细胞进行减数分裂形成1种卵细胞。

五、受精作用的特点和意义

特点：受精作用是精子和卵细胞相互识别、融合成为受精卵的

过程。精子的头部进入卵细胞，尾部留在外面，不久精子

的细胞核就和卵细胞的细胞核融合，使受精卵中染色体的数目又恢复到体细胞的数目，其中有一半来自精子，另一半来自卵细胞。

色体数目的恒定，对于生物的遗传和变异具有重要的作用。

六、减数分裂与有丝分裂图像辨析步骤：

1、细胞质是否均等分裂：不均等分裂——减数分裂中的卵细胞的形成

、细胞中染色体数目：若为奇数——减数第二次分裂（次级精母细胞、次级卵母细胞、

减数第二次分裂后期，看一极）若为偶数——有丝分裂、减数第一次分裂、

3 有同源染色体——有丝分裂、减数第一次分裂

联会、四分体现象、同源染色体的分离——减数第一次分裂无同源染色体——减数第二次分裂

4、姐妹染色单体的分离一极无同源染色体——减数第二次分裂后期

一极有同源染色体——有丝分裂后期注意：若细胞质为不均等分裂，则为卵原细胞的减Ⅰ或减Ⅱ的后期。例：判断下列细胞正在进行什么分裂，处在什么时期？

答案：减Ⅱ前期减Ⅰ前期减Ⅱ前期减Ⅱ末期有丝后期减Ⅱ后期减Ⅱ后期减Ⅰ后期

答案：有丝前期减Ⅱ中期减Ⅰ后期减Ⅱ中期减Ⅰ前期减Ⅱ后期减Ⅰ中期有丝中期

第二节基因在染色体上

一、萨顿假说：基因和染色体行为存在明显的平行关系。二、孟德尔遗传规律的现代解释（见课本30页）

第三节伴性遗传

一、概念：遗传控制基因位于性染色体上，因而总是与性别相关联。二、XY型性别决定方式： ? 染色体组成（n对）：

雄性：n－1对常染色体 + XY雌性：n－1对常染色体 + XX ? ?

性比：一般 1 : 1

常见生物：全部哺乳动物、大多雌雄异体的植物，多数昆虫、一些鱼类和两栖类。

三、三种伴性遗传的特点：（1）伴X隐性遗传的特点：

① 男＞女 ② 隔代遗传（交叉遗传）③ 母病子必病，女病父必病（2）伴X显性遗传的特点：

① 女＞男② 连续发病③ 父病女必病，子病母必病（3）伴Y遗传的特点：

①男病女不病 ②父→子→孙附：常见遗传病类型（要记住）：．．．

伴X隐：色盲、血友病

伴X显：抗维生素D佝偻病

常隐：先天性聋哑、白化病常显：多(并)指

第三章基因的本质

第一节 DNA是主要的遗传物质一、DNA是主要的遗传物质 1．DNA是遗传物质的证据

（1）肺炎双球菌的转化实验过程和结论（2）噬菌体侵染细菌实验的过程和结论

2．DNA是主要的遗传物质

（1）某些病毒的遗传物质是RNA（2）绝大多数生物的遗传物质是DNA

篇二：【精】高中生物必修2知识点总结全

高中生物必修2

《遗传与进化》

人类是怎样认识基因的存在的？遗传因子的发现

基因在哪里？基因与染色体的关系

基因是什么？基因的本质

基因是怎样行使功能的？基因的表达

基因在传递过程中怎样变化？基因突变与其他变异

人类如何利用生物的基因？从杂交育种到基因工程

现代生物进化理论

主线一：以基因的本质为重点的染色体、DNA、基因、遗传信息、遗传密码、性状间关

系的综合；

主线二：以分离规律为重点的核基因传递规律及其应用的综合；

主线三：以基因突变、染色体变异和自然选择为重点的进化变异规律及其应用的综合。

第一章遗传因子的发现

二、杂交实验（一） 1956----1864------1872

1．选材：豌豆自花传粉、闭花受粉纯种

第 1

页（共12页）

性状易区分且稳定真实遗传

．过程：人工异花传粉

一对相对性状的

正交

p（亲本）互交反交

F1（子一代）纯合子、杂合子

F2（子二代）分离比为3：1

3．解释

①性状由遗传因子决定。（区分大小写） ②因子成对存在。

③配子只含每对因子中的一个。④配子的结合是随机的。

4．验证测交F1是否产生两种

比例为1：1的配子

5．分离定律

在生物的体细胞中，控制同一性状的遗传因子成对存在，不相融合；在形成配子时，

成对的遗传因子发生分离，分离后的遗传因子分别进入不同的配子中，随配子遗传给后代。

三、杂交实验（二）

1．亲组合

重组合

2．自由组合定律

控制不同性状的遗传因子的分离和组合是互不干扰的；在形成配子时，决定同一性

状的成对的遗传因子彼此分离，决定不同性状的遗传因子自由组合

四、孟德尔遗传定律史记

①1866年发表 ②1900年再发现

③1909年约翰逊将遗传因子更名为“基因” 基因型、表现型、等位基因

△基因型是性状表现的内在因素，而表现型则是基因型的表现形式。表现型=基因型+环境

条件。

五、小结

1．

第 2页（共12页）

第二章基因与染色体的关系

基因与染色体行为的平行关系体现在减数分裂与受精作用

基因在染色体上证据：果蝇杂交（白眼）伴性遗传：色盲与抗VD佝偻病

一、减数分裂

1．进行有性生殖的生物在产生成熟生殖细胞时，进行的染色体数目减半的细胞分裂。

在减数分裂过程中，染色体只复制一次，而细胞分裂两次。减数分裂的结果是，成熟生殖细

胞中的染色体数目比原始生殖细胞的减少一半。

2．过程

染色体同源染色体联会成着丝点分裂

精原初级次级精变形精

细胞精母精母细胞子

染色体 2N 2N N 2N NN

3．同源染色体

① 形状（着丝点位置）和大小（长度）相同，分别来自父方与母方的

②一对同源染色体是一个四分体，含有两条染色体，四条染色单体

③区别：同源与非同源染色体；姐妹与非姐妹染色单体

④交叉互换

4．判断分裂图象

奇数减Ⅱ或生殖细胞散乱中央分极

染色体有丝有配对前中后偶数减Ⅰ期期期

无减Ⅱ

二、萨顿假说

1．内容：基因在染色体上（染色体是基因的载体）

2．依据：基因与染色体行为存在着明显的平行关系。

①在杂交中保持完整和独立性②成对存在

第 3

页（共12页）

③一个来自父方，一个来自母方 ④形成配子时自由组合

3．证据：果蝇的限性遗传

①一条染色体上有许多个基因；②基因在染色体上呈线性排列。

4．现代解释孟德尔遗传定律

①分离定律：等位基因随同源染色体的分开独立地遗传给后代。

②自由组合定律：非同源染色体上的非等位基因自由组合。

四、遗传图的判断致病基因检索表

A1 图中有隔代遗传现象???????????隐性基因

B1 与性别无关(男女发病几率相等) ???? 常染色体

B2 与性别有关

C1男性都为患者???????????Y染色体

C2男多于女?????????????X染色体

A2 图中无隔代遗传现象(代代发生)?????? 显性基因

D1与性别无关????????????? 常染色体

D2与性别有关

E1男性均为患者???????????Y染色体

E2女多于男(约为男患者2倍) ?????X染色体

第三章基因的本质

基因是有遗传效应的DNA片段；是控制生物性状的最基本单位；

双螺旋本质其中四种脱氧核苷酸的排列顺

序代表的遗传信息。

半保留

一、DNA是主要的遗传物质

1．肺炎双球菌转化实验

（1）体内转化1928年英国格里菲思

① 活R，无毒

活小鼠

②

活S

，有毒

小鼠

死小鼠；分离出活S ③ △杀死的S，无毒

活小鼠

④ 活R + △杀死的S，无毒死小鼠；分离出活S 转化因子是什么？

（2）体外转化1944年美国艾弗里

多糖或蛋白质型

活型培养基型 + S型

水解物型

转化因子是DNA 。

2．噬菌体侵染细菌实验1952年赫尔希、蔡明电镜观察和同位素示踪 p标记DNA

35 S标记蛋白质DNA具有连续性，是遗传物质。

3．烟草花叶病毒实验RNA也是遗传物质。

二、DNA的分子结构

1．核酸核苷酸核苷含氮碱基：A、T、G、C、U

磷酸戊糖：核糖、脱氧核糖

2．1950年鲍林年威尔金斯 + 富兰克林年查哥夫

3．DNA的结构

①（右手）双螺旋

② 骨架

③ 配对：A = T/U

G = C

4．特点

①稳定性：脱氧核糖与磷酸交替排列的顺序稳定不变

②多样性：碱基对的排列顺序各异

③特异性：每个DNA都有自己特点的碱基对排列顺序

5．计算

A?G

1．在两条互补链中T?C的比例互为倒数关系。 32

2．在整个DNA分子中，嘌呤碱基之和=嘧啶碱基之和。

A?T

3．整个DNA分子中，G?C与分子内每一条链上的该比例相同。

三、DNA的复制

1．场所：细胞核；时间：细胞分裂间期。

2．特点：① 边解旋边复制②半保留复制

3．基本条件：① 模板：开始解旋的DNA分子的两条单链；

② 原料：是游离在核液中的脱氧核苷酸；

第 5页（共12页）

篇三：高中生物人教版必修2知识点总结

第一章遗传因子的发现

第一节孟德尔的豌豆杂交实验（一）

一、相关概念

1、性状：是生物体形态、结构、生理和生化等各方面的特征。 2、相对性状：同种生物的同一性状的不同表现类型。

3、显性性状：在具有相对性状的亲本的杂交实验中，杂种一代（F1）表现出来的性状，

隐性性状：杂种一代（F1）未表现出来的性状。

4、性状分离：指在杂种后代中，同时显现出显性性状和隐性性状的现象。 5、杂交：具有不同相对性状的亲本之间的交配或传粉

6、自交：具有相同基因型的个体之间的交配或传粉（自花传粉是其中的一种） 7、测交：用隐性性状（纯合体）的个体与未知基因型的个体进行交配或传粉，来测定

该未知个体能产生的配子类型和比例（基因型）的一种杂交方式。 8、纯合子：基因组成相同的个体；

杂合子：基因组成不同的个体。

9、分离定律：在生物体细胞中，控制同一性状的遗传因子成对存在的，不相融合，在形成配子时，成对的遗传因子发生分离，分离后的遗传因子分别进入不同配子中，随配子遗传给后代。

二、孟德尔豌豆杂交实验（一对相对性状）

p：高豌豆×矮豌豆 p： AA×aa↓ ↓F1：高豌豆 F1：Aa↓?↓? F2：高豌豆矮豌豆F2：AA Aa aa

3 ︰ 11 ︰2 ︰1 三、对分离现象的解释（孟德尔提出的如下假说）

1、生物的性状是由遗传因子决定的。每个因子决定着一种性状，其中决定显现性状的

为显性遗传因子，用大写字母表示，决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母表示。

2、体细胞中的遗传因子是成对存在的。

3、生物体在形成生殖细胞——配子时，成对的遗传因子彼此分离，分别进入不同的配

子中，配子中只含有每对遗传因子的一个。 4、受精时，雌雄配子的结合是随机的。

第二节孟德尔的豌豆杂交实验（二）

一、相关概念

1、表现型：生物个体表现出来的性状。

2、基因型：与表现型有关的基因组成。

3、等位基因：位于一对同源染色体的相同位置，控制相对性状的基因。

非等位基因：包括非同源染色体上的基因及同源染色体的不同位置的基因。

4、自由组合定律：控制不同性状的遗传因子的分离和组合是互不干扰的，在形成配子

时，决定同一性状的遗传因子彼此分离，决定不同性状的遗传因子自由结合。

二、孟德尔豌豆杂交实验（二对相对性状）

p：黄圆×绿皱 p： AABB×aabb↓ ↓F1：黄圆F1： AaBb↓?↓?

F2：黄圆黄皱绿圆绿皱 F2：A＿B＿ A＿bb aaB＿aabb9 ︰ 3︰ 3 ︰ 1 9 ︰ 3 ︰ 3︰ 1 在F2 代中：

4 两种亲本型：黄圆9/16 绿皱1/16

两种重组型：黄皱3/16 绿皱3/16

9种基因型：完全纯合子 AABB aabbAAbbaaBB共4种×1/16 半纯合半杂合AABbaaBbAaBBAabb 共4种×2/16 完全杂合子AaBb 共1种×4/16

? [1909年，丹麦生物学家约翰给孟德尔的“遗传因子”一词起名叫做基因，并提出了表现型和基因型的概念。] 三、对自由组合现象的解释

孟德尔两对相对性状的杂交实验中，F1(YyRr)在产生配子时，每对遗传因子彼此分离，不同对的遗传因子可以自由组合。F1产生的雌配子和雄配子各有4种：YR、Yr、yR、yr，数量比例是：1︰1︰1︰1。受精时，雌雄配子的结合是随机的，雌、雄配子结合的方式有16种，遗传因子的结合形式有9种：YYRR、YYRr、YYrr、YyRR、YyRr、Yyrr、yyRR、yyRr、yyrr。性状表现有4种：黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒、绿色皱粒，它们之间的数量分比是9︰3︰3︰1。

四、孟德尔实验成功的原因 1、正确选用实验材料：

①、豌豆是严格自花传粉的植物，而且是闭花受粉，自然状态下一般是纯种，用于人

工杂交实验，结果既可靠又易分析。

②、具有易于区分的相对性状，实验结果易于观察和分析。 ③、花大，便于人工传粉。

2、采取了正确的实验方法：由一对相对性状到多对相对性状的研究 3、运用了科学的分析方法：数学统计学方法对结果进行分析 4、设计了科学的实验程序：假说—演绎法

观察分析——提出假说——演绎推理——实验验证

第二章基因和染色体的关系第一节减数分裂和受精作用

一、基本概念

1、减数分裂：减数分裂是指有性生殖的生物在产生成熟生殖细胞时，进行的染色体数

目减半的细胞分裂。在减数分裂过程中，染色体只复制一次，而细胞分裂两次。减数分裂的结果是，成熟生殖细胞中的染色体数目比原始生殖细胞的减少一半。 2、受精作用：受精作用是卵细胞和精子相互识别，融合成为受精卵的过程。 3、同源染色体：配对的两条染色体，形状和大小一般都相同，一条来自父方，一条来

自母方，叫做同源染色体。 4、联会：同源染色体两两配对的现象叫做联会。

5、四分体：联会后的每对同源染色体含有四条染色单体，叫做四分体。二、有性生殖细胞的形成

1、部位：动物的精巢、卵巢；植物的花药、胚珠 2、有性生殖细胞（精子、卵细胞）的形成过程：

①、精子的形成 ②、卵细胞的形成 1个精原细胞（2n）1个卵原细胞（2n） ↓间期：染色体复制↓ 间期：染色体复制 1个初级精母细胞（2n） 1个初级卵母细胞（2n）

前期：联会、四分体、交叉互换（2n）前期：四分体、交叉互换（2n）中期：同源染色体排列在赤道板上（2n）中期：（2n）后期：配对的同源染色体分离（2n）后期：（2n）

末期：细胞质均等分裂细胞质不均等分裂（2n）

2个次级精母细胞（n） 1个次级卵母细胞＋1个极体（n）前期：（n）前期：（n）中期：（n）中期：（n）

后期：染色单体分开成为两组染色体（2n）后期：（2n）

末期：细胞质均等分离（n）末期：（n）

4个精细胞（n） 1个卵细胞（n） 2个极体（n）

↓变形＋1个极体（n） 4个精子（n）

3、精子的形成与卵细胞形成的比较

三、减数分裂过程中染色体、DNA的变化

四、受精作用

1、受精作用的特点和意义：

特点：受精卵中的染色体数目又恢复到体细胞的数目，其中有一半的染色体来自精子

（父方），另一半来自卵细胞（母方）。

精子的细胞核和卵细胞的细胞核相融合，使彼此染色体会合在一起，只有形成受精卵，才能发育成新个体。

意义：减数分裂形成的配子多样性及精卵结合的随机性导致后代性状的多样性。有性

生殖过程可使同一双亲的后代呈现多样性，有利于生物在自然选择中进化。 2、减数分裂和受精作用的重要作用

减数分裂和受精作用对于维持每种生物前后代体细胞中染色体数目恒定，对生物遗传和变异是十分重要的。

五、减数分裂和有丝分裂的比较 1、减数分裂和有丝分裂的异同点

染色体 DNA

有丝分裂减数分裂

减数分裂和有丝分裂图象的比

3、细胞分裂相的鉴别：

判断细胞图的三看原则：一看染色体数目、二看有无同源染色体、三看同源染色体是否有行为（配对、分离或上下排列在赤道板两侧）

①、细胞质是否均等分裂：不均等分裂：减数分裂卵细胞的形成

均等分裂：有丝分裂、减数分裂精子的形成

②、细胞中染色体数目：若为奇数：减数第二分裂（次级精母细胞、次级卵母细胞）

若为偶数：有丝分裂、减数第一分裂、减数第二分裂后期

③、细胞中染色体的行为：联会、四分体现象：减数第一分裂前期（四分体时期）

有同源染色体：有丝分裂、减数第一分裂

无同源染色体：减数第二分裂

同源染色体的分离：减数第一分裂后期

姐妹染色单体的分离

一侧无同源染色体：有丝分裂后期

第二节基因在染色体上

一、萨顿（美）假说

、假说核心：基因由染色体携带从亲代传递给下一代。即基因就在染色体上。 2、研究方法：类比推理 3、原因证据：基因与染色体行为存在着明显的平行关系

①、基因在杂交过程中保持完整性和独立性。染色体在配子形成和受精过程中，也有相对稳定的形态结构。 ②、在体细胞中基因成对存在，染色体也是成对的。在配子中只有成对基因中的一个，同样，也只有成对的染色体中的一条。

③、体细胞中成对的基因一个来自父方，一个来自母方。同源染色体也是如此。

必修四政治一二单元知识点总结

篇一：人教版政治必修四《生活与哲学》一、二单元知识点

《生活与哲学》一、二单元基本知识点

第一单元生活智慧与时代精神

1、哲学与生活

（1）哲学就在我们身边。①哲学智慧产生于人类的实践活动。②在一定意义上，哲学源于人们对实践的追问和对世界的思考。因此，哲学与我们的生活、与我们置身于其中的自然和社会密切相关，它总是自觉或不自觉地影响我们的学习、工作和生活。

（2）哲学是指导人们生活得更好的艺术。①哲学就是给人智慧、使人聪明的学问，哲学是现世的智慧，是“文化的活的灵魂”。②哲学的任务就在于指导人们正确地认识世界和改造世界。

2、哲学的含义

（1）哲学是关于世界观的学说，是系统化理论化的世界观。（世界观是人们对整个世界以及人与世界关系的总的看法和根本观点。）

（2）哲学是世界观和方法论的统一（世界观决定方法论，方法论体现世界观。）

（3）哲学是对自然、社会和思维知识的概括和总结。（具体科学是哲学的基础，具体科学的进步推动着哲学的发展；哲学为具体科学提供世界观和方法论的指导。）

3、哲学的基本问题

（1）是什么？思维和存在的关系问题，或意识和物质的关系问题。一方面，思维与存在何者为第一性的问题。对这个问题的不同回答，是划分唯物主义和唯心主义的唯一标准。另一方面，思维和存在有无同一性的问题，即思维能否正确认识存在的问题。对这个问题的不同回答，可以划分为可知论和不可知论。

（2）为什么？①思维和存在的关系问题是人们在生活和实践活动中首先遇到和无法回避的基本问题②思维与存在的关系问题是一切哲学都不能回避、必须回答的问题。它贯穿于哲学发展的始终，对这一问题的不同回答决定着各种哲学的基本性质和方向，决定着它们对其他哲学问题的回答。

（把物质归结为具体物质形态，如水、火、气、土等）性、唯心史观）

辩证唯物主义和历史唯物主义

是第一性的东西。如人的目的、意志、感觉、经验、心灵等）

对精神等）

5、正确理解“真正的哲学”

（1）含义：真正的哲学都是自己时代的精神上的精华，正确地反映了时代的任务和要求，牢牢的把握了时代的脉搏，正确地总结和概括了时代的实践经验和认识成果。

（2）作用：哲学是社会变革的先导①可以通过对旧制度和旧思想的批判，更新人的观念，解放人的思想。②可以预见和指明社会的前进方向，提出社会发展的理想目标，指引人们追求美好的未来；动员和掌握群众，从而转化为变革社会的巨大物质力量。③总之，任何反映自己时代的客观要求和历史趋势的哲学，都可以成为这一时代社会变革的先导，推动时代的步伐，指导社会的变革。

6、全面认识马克思主义

（1）马克思主义哲学产生的历史必然性。①阶级基础：无产阶级的产生和发展。②自然科学基础：19世纪自然科学的巨大进步，最具代表性的是细胞学说、能量守恒和转化定律、生物进化论三大发现。③直接理论来源：德国古典哲学，主要是黑格尔的辩证法和费尔巴哈的唯物主义。

（2）马克思主义哲学的基本特征：①第一次实现了唯物主义与辩证法的有机统一，唯物辩证的自然观和唯物辩证的历史观的有机统一。由于马克思主义哲学确立了科学的实践观，并且把社会生活的本质归结为实践，因此，实现了唯物主义和辩证法的有机结合，唯物辩证的自然观和历史观的统一。②实现了实践基础上的科学性和革命性的统一。其科学性在于它坚持了科学的实践观点，其革命性在于它是“改变世界”的科学、指导人类解放的科学，是无产阶级的科学的世界观和方法论。

（3）马克思主义中国化的理论成果：毛泽东思想、中国特色社会主义理论体系（邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观。）

第二单元探索世界与追求真理

一、世界的物质性

1、物质的含义：物质是不依赖于人的意识，并能为人的意识所反映的客观实在。

●注意：物质的概念概括了宇宙间的一切客观存在着的事物和现象的共同本质，而不是指某一种具体物质形态。物质和物质的具体形态是共性和个性，一般和个别的关系，而不是整体和部分的关系。

2、世界的物质性原理：世界是物质的世界，世界的真正统一性就在于它的物质性。

（1）自然界具有物质性。（2）人类社会具有物质性。（3）人的意识是物质世界长期发展的产物，是人脑的机能，是客观存在的反映。

二、认识运动，把握规律

1、运动

（1）哲学上讲的运动是指宇宙间一切事物、现象的变化和过程。

（2）物质和运动的关系：①世界的一切事物都处于运动和变化中，运动是物质的固有属性和存在方式，世界上不存在脱离运动的物质。②运动是物质的运动，物质是运动的承担着，脱离物质的运动是根本不存在的，物质和运动是不可分割的。

●注意：物质的根本属性和存在方式是运动。区别物质的根本属性和唯一特性。

（3）运动和静止的关系：①世界上的一切事物都处在运动变化中，没有不运动的物质，运动是无条件的、永恒的和绝对的；静止是运动的一种特殊形态，静止是有条件的、暂时的和相对的。②物质世界是绝对运动和相对静止的统一③只承认静止而否认运动是形而上学的不变论，只承认绝对运动而否认相对静止则导致相对主义和诡辩论

2、运动是有规律的

（1）规律的含义：规律是事物运动过程中固有的、本质的、必然的、稳定的联系。

（2）规律的客观性和普遍性：规律是客观的，是不以人的意志为转移的，它既不能被创造，也不能被消灭。规律是普遍的，自然界、人类社会和人的思维，在其运动变化和发展中，都遵循其固有规律。

（3）方法论：①规律的客观性和普遍性要求我们，必须遵循规律，而不能违背规律。按客观规律办事，我们就能体会到规律对于我们的意义。一旦违背客观规律，就会受到规律的惩罚。②在规律面前，人并不是无能为力的。人可以在认识和把握规律的基础上，根据规律发生作用的条件和形式利用规律，改造客观世界，造福于人类。

3、尊重客观规律和发挥主观能动性的辩证关系

（1）原理：规律具有普遍性和客观性，制约着主观能动性的发挥，尊重规律，是正确发挥主观能动性的前提和基础。但人在规律面前又不是无能为力的，人可以发挥主观能动性认识和利用规律，改造客观世界，造福于人类。发挥主观能动性，是认识和利用规律的必要条件。

(2)方法论：想问题、办事情，既要尊重客观规律，按规律办事，又要充分发挥主观能动性，把尊重客观规律和发挥主观能动性有机地结合起来。

三、意识的本质

1、从意识的起源看，意识是物质世界长期发展的产物。

（1）意识是自然界长期发展的产物。一切物质都具有的反应特性是人类意识产生的物质基础。生物的反应形式是人类意识产生的前提。（2）意识一开始就是劳动的产物，社会的产物。

2、从意识的生理基础看，意识是人脑的机能。人脑是意识活动的物质器官。人脑结构的复杂性和组织的严密性，决定了它具有产生意识的生理基础。

3、从意识的内容看，意识是客观存在的反映。（意识是客观存在的主观映象）

总之，物质世界先于人的意识而存在，物质是本原，意识第二性是派生的，物质决定意识。

四、意识的能动作用

1、人能够能动地认识世界。①意识活动具有目的性和计划性、主动创造性和自觉选择性。人不仅能认识事物外部现象，还能透过现象把握事物的本质和规律。不仅能认识现在，还能追溯过去，预测未来。②意识活动的主动性和创造性，是人能够认识世界的重要条件。世界上只有尚未认识之物，而没有不可认识之物。

2、人能够能动地改造世界。①意识对改造客观世界具有指导作用。人们在意识的指导下能动地改造世界，即通过实践把意识中的东西变成现实的东西，创造出没有人的参与永远也不可能出现的东西。②意识对人体生理活动具有调节和控制作用。高昂的精神，可以催人向上，使人奋进；萎靡的精神，则会使人悲观、消沉，丧失斗志。

五、物质和意识的辩证关系

1、原理：物质决定意识，意识对物质具有能动作用；正确的意识促进事物的发展，错误的意识阻碍事物的发展。

2、方法论： (1)要坚持一切从实际出发，实事求是；(2)要重视意识的作用，重视精神的力量，自觉地树立正确的思想意识，克服错误的思想意识。

六、坚持一切从实际出发，实事求是

1、哲学依据：世界是物质的世界，物质决定意识，物质运动是有规律的，规律具有客观性、普遍性。

2、重要意义：坚持一切从实际出发，实事求是是我们做好各种事情的基本要求，也是无产阶级政党制定和执行正确的路线、方针、政策的前提和依据。

3、怎样做到： ①做事情要尊重物质运动的客观规律，从客观存在的事物出发，经过调查研究，找出事物本身固有的而不是臆造的规律性，以此作为我们行动的依据。②要充分发挥主观能动性，坚持用科学的理论武装头脑，指导实践，不断解放思想，与时俱进，以求真务实的精神探求事物的本质和规律，在实践中检验和发展真理。③要把发挥主观能动性和尊重客观规律结合起来，要把高度的革命热情同严谨踏实的科学态度结合起来。

七、实践及其特点

1、含义：实践是人们改造客观世界的物质性活动。它有两层基本含义：①凡是实践，都是以人为主体、以客观事物为对象的物质性活动。②实践是一种直接现实性活动，它可以把人们头脑中的观念的存在变为现实的存在。

2、特点：实践具有客观物质性、主观能动性（实践是一种有意识有目的的改造客观世界的活动）、社会历史性的特点。

3、基本形式：①改造自然的生产实践，这是人类最基本的实践活动。②变革社会的实践③探索世界规律的科学实验活动

八、实践和认识的辩证关系：

1、原理：（1）实践是认识的基础（实践决定认识）。①实践是认识的来源。（在变革客观对象的实践中获得对客观事物的认识）②实践是认识发展的动力。（实践不断提出新问题、产生新要求；实践提供更完备的认识工具；实践提高了人的认识能力）③实践是检验认识真理性的唯一标准，④实践是认识的目的和归宿。

●注意：认识的来源是实践。认识的内容是客观事物。人们获得知识的途径有两个，参与实践获得的直接经验和学习间接经验。但归根到底都来源于实践。

（2）认识对实践具有反作用：正确的认识，科学的理论对实践有巨大的指导作用，错误的认识，不科学的理论则会把实践引向歧途。

2、方法论：坚持实践第一的观点，自觉参加实践活动；坚持理论与实践相结合。重视科学理论的指导作用。

九、在实践中追求和发展真理

1、真理是客观的具体的有条件的：

（1）真理是客观的。真理是标志主观同客观相符合的哲学范畴，是人们对客观事物及其规律的正确反映，真理最基本的属性是客观性。在同一时间、地点、条件下，人们对同一事物的真理性认识只有一个，真理面前人人平等。

（2）真理是有条件的。任何真理都有自己适用的条件和范围。如果超出这个条件和范围，真理就会成为谬误。

（3）真理是具体的。任何真理都是相对于特定的过程来说的，都是主观与客观，理论与实践的具体的历史的统一。如果人们不顾过程的推移，不随着历史条件的变化而丰富、发展和完善真理，真理都会转化为谬误。

2、追求真理是一个过程

（1）原理：认识具有反复性，认识具有无限性，从实践到认识、从认识到实践的循环是一种波浪式的前进或螺旋式的上升。

（2）方法论：与时俱进，开拓创新，在实践中认识和发现真理，在实践中检验和发展真理，是我们不懈的追求和永恒的使命。

篇二：政治必修四一、二单元知识点精华

第一课美好生活的向导

一．哲学与生活的关系

1.哲学的来源

（1）哲学的智慧产生于人类的实践活动

（2）哲学源于人们对实践的追问与思考

2.哲学的作用

（1）哲学是指导人们生活得更好的艺术

（2）哲学总是自觉或不自觉地影响人类的学习、工作和生活

（3）哲学是一门给人智慧，使人聪明的学问。

二．哲学的含义

1.哲学的本义

（1）爱智慧和追求智慧

（2）是现世的智慧，是文化的活的灵魂。

2.哲学的任务：寻找光明;指导人们正确的认识世界和改造世界。

3.哲学与世界观、方法论的关系

（1）哲学以世界观为内容，世界观以哲学为最高体现。

（2）哲学是关于世界观的学问，哲学是系统化和理论化的世界观。

（3）哲学是世界观与方法论的统一。

4.哲学和具体科学的联系

（1）哲学是对自然、社会和思维知识的概括和总结。

（2）具体科学是哲学的基础，具体科学的进步推动哲学的发展。

（3）哲学为具体科学提供世界观和方法论的指导

三.其他内容

1.世界观：人们对整个世界一级人与世界关系的总的看法和根本观点

2.世界观人人都有，但一般人自发形成的世界观还不等于哲学。

3.方法论：用世界观作指导去认识世界和改造世界

4.世界观与方法论的关系：世界观决定方法论，方法论体现世界观。

5.具体科学：揭示自然、社会和思维某一具体领域的规律和奥秘。

第二课百舸争流的思想

一、哲学的基本问题

1.什么是哲学的基本问题：思维与存在的关系问题

（1）思维和存在何者为本原--------是划分唯物主义和唯心主义的唯一标准

（2）思维和存在有无同一性--------可知论和不可知论

2.为什么思维与存在的关系问题是哲学的基本问题

（1）人们在生活和实践活动中遇到和无法回避的基本问题

（2）一切哲学不能回避的，必须回答的问题

（3）贯穿于哲学发展的始终，决定各种哲学的基本性质和方向和对其他哲学问题的回答

二、唯物主义与唯心主义

1.唯物主义

（1）基本观点：物质是本原，物质决定意识

（2）古代朴素唯物主义：坚持唯物主义方向；把物质归结为具体的物质形态，把复杂问题简单化了

（3）近代形而上学唯物主义：在总结自然科学的基础上，丰富了唯物主义，但它把物质归结为自然意义上的原子，但具有机械性、形而上学性、历史观上的唯物主义

（4）辩证唯物主义和历史唯物主义：正确揭示物质世界的基本规律，现时代的思想智慧，科学的世界观和方法论。

2.唯心主义

（1）基本观点：意识是本原，意识决定物质

（2）主观唯心主义：把主观精神（人的目的、意志、感觉、经验、心灵等）夸大为唯一的实在

（3）客观唯心主义：把客观精神（上帝、理念、绝对精神等）夸大成第一性

3.两个对子：辩证法和形而上学附属于唯物主义和唯心主义

第三课时代精神的精华

1.哲学与政治、经济、文化的关系

（1）哲学属于思想文化的范畴，文化是经济与政治的反映

（2）一定形态的经济和政治决定一定形态的文化，一定形态的文化又反作用于一定形态的经济和政治。

2.哲学与时代的关系：一定社会和时代的精神生活的构成部分；又是一定社会和时代的经济和政治在精神上的反映

3.哲学对社会变革的作用

（1）更新人的观念，解放人的思想

（2）预见和指明社会的前进方向

（3）动员和掌握群众，转化变革社会的巨大物质力量

（4）成为社会变革的先导，推动时代的步伐，指导社会的变革。

4.马克思主义哲学

（1）产生的历史条件（基础）：阶级基础是无产阶级的产生和发展；自然科学基础是19世纪自然科学的发展，特别是三大科学发现；直接理论来源是德国古典哲学，其中主要是黑格尔的辩证法和费尔巴哈的唯物主义。

（2）基本特征：三统一（辩证法与唯物主义；自然观与历史观；实践基础上的科学性与革命性）

（3）三大理论成果：毛泽东思想、邓小平理论、科学发展观、三个代表重要思想

第二单元探究世界与追求真理

第一部分唯物论

一、规律的普遍性与客观性原理与方法论

1.规律的含义: 事物运动过程中固有的、本质的、必然的、稳定的联系。

2.普遍性：自然界、人类社会、人的思维，在其运动变化和发展的过程中，都遵循其固有的规律。

3.客观性：规律是客观的，是不以人的意志为转移的，它不能被创造、也不能被消灭。

4.方法论：（1）必须遵循规律，按客观规律办事，而不能违背或创造规律。否则，就会受到规律的惩罚。

（2）在客观规律面前，人并不是无能为力的。人可以发挥主观能动性，创造规律起作用的条

件，在认识和利用规律，改造客观世界，造福于人类。

二、意识的能动作用

1.人能够能动的认识世界

（1）具有目的性、计划性、主动创造性、自觉选择性

（2）意识活动的主动性和创造性，是人类能够认识世界的重要条件

（3）世界上只有尚未认识之物，没有不可认识之物

2. 人能够能动的改造世界

（1）意识对物质具有指导作用（不同意识的指导作用不同）

（2）意识对于人体生理活动具有调节和控制作用（高昂的精神催人向上；萎靡的精神，使人悲观）

3. 方法论：重视意识的作用,重视精神的力量,自觉树立正确的思想意识,克服错误的思想意识。

4. 坚持一切从实际出发，实事求是

（1）哲学依据：世界是物质的世界，物质决定意识，物质运动是有规律的，规律具有客观性、普遍性。

（2）做事情要尊重物质运动的客观规律，从客观存在的事物出发，进行调查研究，找出事物固有的不是臆造的规律性，以此作为我们行动的依据。

（3）充分发挥主观能动性，坚持用科学的理论武装自己，不断解放思想，与时俱进，以求真务实的精神探求事物的本质和规律，在实践中检验和发展真理。

（4）把发挥主观能动性和尊重客观规律结合起来，把高度的革命热情同严谨踏实的科学态度结合起来。

（5）既要反对夸大意识能动作用的唯意志主义，又要反对片面强调客观条件，安于现状、因循守旧、无所作为的思想。（主观与客观具体的历史的统一）

第二部分认识论

一、人的认识从何而来

1. 实践的特点：是人们改造客观世界的一切物质性活动。具有客观物质性、主观能动性、社会历史性。

2. 实践是认识的基础

（1）实践是认识的唯一来源、发展动力、检验真理的唯一标准、目的和归宿。

（2）认识对实践具有反作用：正确的认识对实践具有促进作用，错误的认识对实践具有阻碍作用

（3）方法论：坚持实践第一的观点与理论和实践相结合的原则，做到理论和实践具体的历史的统一。

3.在实践中追求和发展真理

（1）含义：与客观对象相符合的认识

（2）内容：真理是标志主观同客观相符合的哲学范畴，是人们对客观事物及其规律的正确反映。

（3）特点：①客观性（真理面前人人平等，是最基本的属性）。真理的内容客观，形式主观。

②条件性：任何真理都有自己适用的条件和范围。超出了这个条件和范围，就会变成谬误。 ③具体性：任何真理都是相对于特定的过程来说的，都是主观与客观、理论与实践的具体

的、历史的统一。

4.实践的三种形式

（1）改造自然的生产实践-----物质生产活动，是最基本的

（2）变革社会的实践-----革命与改革，国家制度的决%b

政治必修四认识论知识点总结

篇一：高中政治必修四哲学知识点总结

一、唯物论

1、世界物质性原理：

原理内容：物质含义：不依赖于人的意识，并能为人的意识所反映的客观实在。世界是物质的世界，世界的真正统一性就在于它的物质性。

方法论：这就要求我们坚持一切从实际出发，实事求是。尊重自然的物质性，正确处理人与自然的关系，人与自然和谐相处。

2.物质与意识的辩证关系原理：

一，物质决定意识，意识是客观存在在人脑中的反映。

方法论：要求我们想问题办事情一切从实际出发，实事求是。

二，意识对物质具有能动作用。能够能动地认识世界：①意识活动具有目的性、计划性、主动创造性和自觉选择性。能够能动的改造世界，意识对改造客观世界有指导作用。正确的意识促进客观事物的发展。错误的意识阻碍客观事物的发展。意识对于人体生理活动有调节和控制作用。

方法论：要求我们重视意识的作用，重视精神的力量，自觉地树立正确的思想意识，克服错误的思想意识。反对形而上学和唯心主义。

3.意识的本质：客观实在在人脑中的反映。方法论：一切从实际出发，实事求是。

4.运动的含义：宇宙间一切事物现象的变化和过程。

运动与物质的关系：（1）运动：任何具体的物质形态只有在运动中才保持自己的存在。运动是物质的固有属性和存在方式。

（2）物质：运动是物质的运动，物质是运动的承担者和载体。

运动与静止的关系：1.联系：唯物辩证主义所讲的静止，是运动的一种特殊状态。

2.区别：a.世界上一切事物都处在运动变化中，没有不运动的物质，因而运动是无条件的，永恒的，绝对的。b.静止是有条件的，暂时的，相对的。

5、尊重客观规律和发挥主观能动性辩证关系原理原理内容及方法论：

原理：规律的含义：事物运动过程中固有的本质的、必然的、稳定的联系。

规律的客观性：规律是不以人的意志为转移的，它不能被创造、也不能被消灭。规律具有不可抗拒性，违背规律受惩罚。

规律的普遍性：自然界、人类社会、人的思维，其运动变化和发展都是有规律的。方法论：要求我们必须尊重客观规律，按客观规律办事。

原理：在规律面前，人不是无能为力的，人们可以发挥主观能动性。

方法论：必须遵循规律，按客观规律办事；要充分发挥主观能动性，在认识和把握规律的基础上，根据规律发生作用的条件和形式利用规律，改造世界，造福人类。

一般化答题方法：

1.物质对意识的

2.意识对物质的

3.规律（不细答）

4.材料

二、认识论

1.实践的含义及特征

实践是人们改造客观世界的物质性活动，具有客观物质性，主观能动性和社会历史性。方法论：要求我们坚持实践第一的观点。

2、实践和认识的辩证关系内容：

实践决定认识，实践是认识的基础，来源，是认识发展的动力，是认识的目的和归宿，是检验认识真理性的唯一标准。

方法论：要求我们坚持实践第一的观点，重视实践的决定作用。

原理：认识对实践具有反作用，真理和科学理论对人们的实践活动有巨大的推动作用。方法论：要求我们与时俱进，开拓创新，在实践中认识和发现真理，在实践中检验和发展真理。做到主观与客观，理论与实践具体的历史的统一。

3.真理

原理：真理是标志主观同客观相符合的哲学范畴，是人们对客观事物及其规律的正确反映。最基本属性是客观性，真理是具体的，任何真理都有自己适用的条件和范围。真理是有条件，的任何真理都是相对于特定的过程来说的。

追求真理是一个过程。认识具有反复性和无限性，追求真理的过程不是一帆风顺的，追求真理是一个永无止境的过程。

方法论：要求我们与时俱进，开拓创新，在实践中认识和发现真理，在实践中检验和发展真理。都是主观与客观、理论与实践的具体的、历史的统一。

人们对同一确定的对象，会产生多种不同的认识，但是，其中只能有一种正确的认识，即只能有一个真理。

认识的无限性：人类认识是无限发展的。

从实践到认识、从认识到实践的循环，是一种波浪式的前进或螺旋式的上升。

一般化答题方法：

1.实践含义+特征

2.实践对认识的决定作用+方法论

3.真理

三、辩证法

1、联系的普遍性原理

含义：事物之间以及事物内部诸要素之间的相互影响，相互制约，相互作用。

世界上的一切事物都与周围事物有着这样那样的联系，每一事物内部的各个部分，要素之间是相互联系的。

方法论：要求我们用联系的观点看问题，反对孤立的观点。

2、联系的客观性：联系是事物本身固有的，不以人的意志为转移。

方法论：①它要求我们，要从事物固有的联系中把握事物，切忌主观随意性，离开事物的真实联系，抓住事物的表面相似之处，反对主观臆造联系。

②人们可以根据事物固有的联系，改变事物的状态，调整原有的联系，建立新联系。

3、联系的多样性：联系具有多样性，世界上的事物千差万别，事物的联系也是多种多样的。方法论：要求我们要注意分析和把握事物存在和发展的各种条件；一切以时间、地点、条件为转移。

4、整体和部分的关系原理原理：

一、整体：事物的全局和发展的过程，从数量上看它是一。整体居于主导地位统率着部分具有部分所不具有的功能。整体的状态及其变化会影响到部分。

方法论：①我们应当树立全局观念：立足整体，统筹全局，选择最佳方案，实现整体的最优目标，从而达到整体功能大于部分功能之和的理想效果。

二、部分：是事物的局部和发展的各个阶段。从数量上看它是多。整体由部分构成，离开了

部分整体就不复存在，部分的功能及变化会影响到整体，关键部分的功能及其变化甚至对整体的功能起决定作用。

方法论：必须重视部分的作用，搞好局部，用局部的发展推动整体的发展。

5、掌握系统优化的方法

（1）系统的含义：由相互联系相互作用的诸要素构成的统一整体。

基本特征：整体性、有序性、内部结构的优化趋向。

（2）掌握系统优化的方法，要着眼于事物的整体性；遵循系统内部结构的有序性，要注意系统内部结构的优化趋向。

方法论：要求我们用综合的思维方式来认识事物。要着眼于事物的整体，从整体出发，把各个部分，各个要素联系起来考察，统筹考虑，优化组合，形成关于这一事物的完整准确的认识。

1、原理：发展具有普遍性，自然界是发展的，人类社会是发展的，人的意识是发展的。发展是事物的前进和上升，是新事物的产生和旧事物的灭亡。

方法论：用发展的观点看问题，要坚持与时俱进，培养创新精神，促进新事物的成长。反对静止的看问题。

2、事物的发展是前进性和曲折性的统一。

（1）事物发展的前途是光明的。

（2）事物发展的道路是曲折的。

方法论：对未来充满信心，支持、保护新事物的幼芽，促使其成长壮大。又要做好充分的思想准备，不断克服前进道路上的各种困难，勇敢地接受挫折和考验。

3、量变和质变的辨证关系（原理）

（1）量变和质变的含义：事物数量的增减和场所的变化。渐进的，不显著的。

事物根本性质的变化。事物由一种状态到另一种状态的飞跃。根本的，显著的。

（2）量变和质变的辨证关系：

①量变是质变的必要准备；质变是量变的必然结果。

②质变为新的量变开辟道路，使事物在新质的基础上开始新的量变。

③事物的发展就是这样由量变到质变，又在新质的基础上开始新的量变，如此循环往返，不断前进。

方法论：①我们做任何事情都要从一点一滴的小事坐骑，勿以善小而不为，要脚踏实地，埋头苦干，积极做好量的积累，为实现事物的质变创造条件。

②在量变已经达到一定程度，只有改变物质原有性质才能向前发展时，要果断地抓住时机，促成质变，实现事物的飞跃和发展。

③坚持适度原则。

内外因关系原理：

任何事物的变化和发展都是内外因共同作用的结果，内因是根据，外因是条件，外因通过内因起作用。

方法论：

要求我们重视内因，也不能忽视外因，坚持内外因相结合。

（起决定作用的是内因，外因是发展的条件）

1、第六套：辩证否定观

①内含：是事物自身的否定。即自己否定自己，自己发展自己。

②特征：辨证的否定，是事物发展的环节。辨证的否定，是事物联系的环节。

③辨证的否定，既不是简单地肯定一切，也不是简单地否定一切；而是既肯定又否定，既保留又克服；克服的是旧事物中的过时、消极的内容，保留的是旧事物中的积极、合理的因素。

④辨证否定的实质，是“扬弃”。

方法论：①要求我们，必须树立创新意识。做到不惟书、不惟上，只惟实。要求我们，既要尊重书本知识、尊重权威；又要立足实践，解放思想，实事求是，与时俱进，不断实现理论和实践的创新与发展。

2、辩证的革命批判精神和创新意识

原理：辩证法在对现存事物的肯定的理解中，同时包含对现有事物的否定的理解。因而也是从它的暂时性方面去理解。辩证法不崇拜任何东西，它是批判的革命的创新的。方法论：1、辩证法的革命批判精神和创新意识是紧密联系在一起的。

2、要求我们密切关注变化发展的实际，勇于突破与时机不相符合的成规陈说，敢于破除落后的思想观念，注重研究新情况，善于提出新问题，敢于寻找新思路，确立新观念，开阔新境界。

2、创新是民族进步的灵魂。因为：

1.2.6.7.套原理方法论--哲学依据（理论基础）

（1）创新推动生产力的发展。(原因：创新更新了人们的生产工具和生产技术，提高了劳动者的素质，开辟出更广阔的劳动对象，进而推动生产力的发展。)（例如：技术创新。）

（2）创新推动生产关系和社会制度的变革。（例如：理论创新是社会发展和变革的先导。）

（3）创新推动人类思维方式和文化的发展。

--现实意义

创新推动人类思维方式的变革。原因：

理论创新和实践创新使得人类的认识对象和范围日趋广阔使得人类思维的性质和水平不断更新和发展。

创新推动文化的发展。（了解“当代中国先进文化”的内涵）

（4）结论：创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力，也是一个政党永葆生机的源泉。

唯物辩证法和形而上学的分歧

1.唯物辩证法主张用联系、发展、全面的观点看问题。

2.形而上学基于它对世界的理解，用孤立、静止、片面的观点看问题

3。唯物辩证法和形而上学对立的焦点的根本分歧在于，是否承认矛盾，是否承认矛盾是事物发展的源泉和动力。

一般化答题方法：

联系含义

特性

+各自的方法论

篇二：政治必修四生活与哲学知识点归纳

政治必修四生活与哲学知识点归纳

第一单元生活智慧与时代精神

一、哲学是什么？

1、哲学与世界观和方法论

（1）哲学与生活

1）、哲学的智慧产生于人类的实践活动。2）、哲学源于人们在实践中对世界的追问和思考。

3）、哲学是指导人们生活得更好的艺术。

Ⅰ、作用：使人聪明，给人智慧。

Ⅱ、意义：a、为生活和实践提供积极有益的指导。b、指引人们正确地认识世界和改造世界

Ⅲ、任务：寻找光明，在人类生活的路途上点起前行的明灯，指引人们正确地认识世界，改

造世界。

Ⅳ、哲学就是智慧之学，或追求智慧之学，即爱智之学。是现世的智慧，是文化活的灵魂。

（2）世界观与方法论

世界观是人们对世界的总的看法和根本观点。哲学是关于世界观的学问；是系统化、理论化的世界观。

（3）世界观与方法论的关系：哲学是世界观和方法论的统一。

①、世界观决定方法论，方法论体现世界观。有什么样的世界观就有什么样的方法论。

②、不存在脱离世界观的方法论，也不存在脱离方法论的世界观

2、哲学与其他科学的关系

（1）其他科学：

①、内容：a、自然科学知识 b、社会科学知识 c、思维科学知识

②、特点：哲学对某一具体领域的概括和升华，从中抽象出最一般的本质与最普遍的规律。

5.马克思主义哲学

A、产生的历史条件：

（1）阶级基础：欧洲一些国家的无产阶级已经作为一支独立的政治力量登上政治舞台。

（2）自然前提：细胞学说、能量守恒和转化定律、生物进化论等。

（3）理论来源：德国古典哲学，主要是黑格尔的辩证法和费尔巴哈的唯物主义。

B、基本特征：

（1）马克思主义哲学确立了科学的实践观，第一次实现唯物主义与辩证法的有机结合。

（2）马克思主义哲学实现了唯物辩证的自然观与历史观的统一。

（3）马克思主义哲学实现了实践基础上的科学性与革命性的统一。

C、马克思主义哲学中国化的理论成果：

（1）毛泽东思想

（2）中国特色社会主义理论体系（邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观）第二单元探索世界与追求真理

唯物论：

一、哲学的物质概念

1、物质的概念：物质是不依赖于人的意识，并能为人的意识所反映的客观实在。

2.自然界的物质性：自然具有物质性，自然界的事物是按照自身所固有的规律形成与发展的。

3.人类社会的物质性：

（1）产生：人类社会是物质世界长期发展的产物。（2）劳动起决定性作用。

（3）本质：是一个客观的物质体系。（4）三要素：地理环境、人口因素和生产方式。

二、哲学的运动概念 1.物质与运动的关系：

（1）物质是运动的物质。运动是物质的根本属性和存在方式。

（2）运动是物质的运动。物质是运动的承担者（主体）。

（反对两种错误：离开运动谈物质和离开物质谈运动）

2.绝对运动与相对静止：（1）二者的特点：运动是绝对的、无条件的、永恒的，静止是相对的、有条件的、暂时的。

（2）两种错误：只承认静止而否认运动，是形而上学的不变论；只承认运动而否认静止，则导致相对主义和诡辩论。

（3）物质世界是绝对运动和相对静止的统一。

三、物质运动的规律

1、规律的概念：事物运动过程中固有的，本质的、必然的、稳定的联系。

2、规律的客观性与普遍性：要求我们必须尊重规律，按客观规律办事，而不能违背规律。（请用“运动是有规律的”的相关知识分析

答：⑴规律的含义：事物运动过程中固有的，本质的、必然的、稳定的联系。

⑵规律的特点：规律是客观的、普遍的。要求我们必须尊重规律，按客观规律办事，而不能违背规律。

⑶人可以认识和利用规律，不能改造，创造，消灭规律。）

发挥主观能动性：人可以在认识和把握规律的基础上，根据规律发生作用的条件和形式利用规律，改造客观世界，造福人类。

四、物质决定意识

（1）意识的起源：是物质世界长期发展的产物。

（2）意识的生理基础：人脑

（3）意识是客观内容与主观形式的统一。

五、意识的能动作用

1.意识能动性的特点：意识活动具有目的性，主动创造性和自觉选择性。

2.意识能动性的表现（意识的作用）：

（1）人能够能动地认识世界。意识活动具有目的性，主动创造性和自觉选择性。

（2）人能够主动地改造世界。

①意识对改造客观世界有指导作用，正确的意识能够促进客观事物的发展。

②意识对于人体生理活动有调节和控制作用。高昂的精神，可以催人向上，使人奋进；

六、尊重规律与意识的能动作用。 1. 坚持尊重规律和发挥主观能动性的统一。

（2、请你用“尊重规律和发挥主观能动性”的相关知识分析

答：（1）按客观规律办事：规律的客观性和普遍性

（2）认识和利用规律：在客观规律面前，人并不是无能为力的。人可以在认识和把握规律的基础上，根据规律发生作用的条件和形式利用规律，改造客观世界，造福人类。

(3)方法论：坚持尊重规律和发挥主观能动性的统一。）

2.怎样做到坚持一切从实际出发、实事求是？

⑴要尊重物质世界的客观规律。

⑵充分发挥主观能动性，不断解放思想，与时俱进，以求真务实的精神探求事物的本质和规律，用科学的理论武装头脑，指导实践。

⑶ 把发挥主观能动性和尊重客观规律结合起来，把高度革命热情同严谨的科学态度结合起来。

补充：1.请你用“物质与意识的辩证关系”的相关知识分析

答：⑴物质决定意识，意识是物质的反映。所以我们想问题办事情要从实际出发，实事求是。

⑵意识具有能动作用，正确的意识能促进客观事物的发展。所以我们要树立正确的意识，发挥主观能动性。

2. 世界的统一性在于它的物质性。

认识论：

七、实践

（1）概念：是人们改造客观世界的物质活动。

（2）分类：改造自然的生产实践（即人们的物质生产活动）、变革社会的实践（如革命改革）、探索世界规律的科学实验活动

（3）特点：客观物质性、能动性、社会历史性

八、实践是认识的基础

（1）实践是认识的来源，

（2）实践是认识的动力，

（3）实践是检验认识的真理性的唯一标准，

（为什么实践是检验认识真理性的唯一标准？

a、只有把主观和客观联系起来比较和对照的东西，才能检验认识与客观事物是否相符合。唯一能够满足这要求的就是处在主观和客观交汇点上的实践。

b、通过实践。人们可以把自己头脑中的观念的存在变为现实的存在。

c、在这一过程中，人们把指导自己实践的认识和实践所产生的结果加以对照，从而检验认识是否正确地反映了客观事物。）

（4）实践是认识的目的。

九、真理（请你用“真理的特性”的有关知识分析）

1、真理的客观性：是真理的基本属性。即真理只有一个，真理面前人人平等。

（真理反映的内容是客观的，检验的唯一标准，实践，也是客观的。）

2. 真理是具体的：任何真理都是相对于特定的过程来说的，都是主观与客观、理论与实践的具体的、历史的统一。

3. 真理是有条件的：任何真理都有自己适用的条件和范围。如果超出了这个条件和范围，真理就会变成谬误。

4. 真理和谬误往往相伴而行。

十、认识（特点）

1. 认识具有反复性：人们对一个事物的正确认识往往要经过从实践到认识、再从认识到实践的多次反复才能完成。

2. 认识具有无限性：人类认识是无限发展的。追求真理是一个永无止境的过程。

3.认识运动具有上升性：从实践到认识、从认识到实践的循环，是一种波浪式的前进或螺旋式的上升。

方法论：我们要与时俱进，开拓创新，在实践中认识和发现真理，在实践中检验和发展真理，是我们不懈的追求和永恒的使命。

补充：

1、实践与认识的关系：

答：⑴实践决定认识，实践是认识的基础，是认识的来源，动力，是检验认识的真理性的唯一标准，是认识的目的。所以要

高中数学教学总结

篇一：高一数学教学工作总结

高一上数学教学工作总结

本学期我担任高一23、24两班的数学教学，完成了必修1 、 4的教学。本学期教学主要内容有：集合与函数的概念，基本初等函数，函数的应用，三角函数、平面向量、三角恒等变换等六个章节的内容。现将本学期高中数学必修1 、必修4的教学总结如下：

一、教学方面

1、要认真研究课程标准。在课程改革中，教师是关键，教师对新课程的理解与参与是推进课程改革的前提。认真学习数学课程标准，对课改有所了解。课程标准明确规定了教学的目的、教学目标、教学的指导思想以及教学内容的确定和安排。继承传统，更新教学观念。高中数学新课标指出：“丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动”。

2、合理使用教科书，提高课堂效益。对教材内容，教学时需要作适当处理，适当补充或降低难度是备课必须处理的。灵活使用教材，才能在教学中少走弯路，提高教学质量。对教材中存在的一些问题，教师应认真理解课标，对课标要求的重点内容要作适量的补充；对教材中不符合学生实际的题目要作适当的调整。此外，还应把握教材的“度”，不要想一步到位，如函数性质的教学，要多次螺旋上升，逐步加深。

3、改进学生的学习方式，注意问题的提出、探究和解决。教会学生发现问题和提出问题的方法。以问题引导学生去发现、探究、归纳、总结。引导他们更加主动、有兴趣的学，培养问题意识。

4、在课后作业，反馈练习中培养学生自学能力。课后作业和反馈练习、测试是检查学生学习效果的重要手段。抓好这一环节的教学，也有利于复习和巩固旧课，还锻炼了学生的自学能力。在学完一课、一单元后，让学生主动归纳总结，要求学生尽量自己独立完成，以便正确反馈教学效果。

5、分层次教学。我所教的两个班，层次差别大，32班主要是落后面的学生，初中的基础差，高中的知识对他们来说就更增加了难度，而18班也是两极分化严重，前面约20个学生的基础扎实，成绩在中等以上，而后面的30多个学生的成绩却处于中下以下的水平，因此，不管是备课还是备练习，我都注重分层次教学，注意引导他们从基础做起，同时又不乏让他们可以开拓思维，积极动脑的提高性知识，让人人有的学，让人人学有获。

6、注意培养学生良好的学习习惯和学习方法。学生在从初中到高中的过渡阶段，往往会有些不能适应新的学习环境。例如新的竞争压力，以往的学习方法不能适应高中的学习，不良的学习习惯和学习态度等一些问题困扰和制约着学生的学习。为了解决这些问题，我从下面几方面下功夫：

（1）改变学生学习数学的一些思想观念，树立学好数学的信心。

在开学初，我就给他们指出高中数学学习较初中的要难度大，内容多，知识面广，让他们有一个心理准备。对此，我给他们讲清楚，大家其实处在同一起跑线上，谁先跑，谁跑得有力，谁就会成功。对较差的学生，给予多的关心和指导，并帮助他们树立信心；对骄傲的学生批评教育，让他们不要放松学习。

（2）改变学生不良的学习习惯，建立良好的学习方法和学习态度

开始，有些学生有不好的学习习惯，例如作业字迹潦草，不写解答过程；不喜欢课

前预习和课后复习；不会总结消化知识；对学习马虎大意，过分自信等。为了改变学生不良的学习习惯，我要求统一作业格式，表扬优秀作业，指导他们预习和复习，强调总结的重要性，并有一些具体的做法，如写章节小结，做错题档案，总结做题规律等。对做得好的同学全班表扬并推广，不做或做得差的同学要批评。通过努力，大多数同学能很快接受，慢慢的建立起好的学习方法和认真的学习态度。

二存在困惑

1、书本习题都较简单和基础，而我们的教辅题目偏难，加重了学生的学习负担，而且学生完成情况很不好。课时又不足，教学时间紧，没时间讲评这些练习题。

2、在教学中，经常出现一节课的教学任务完不成的现象，更少巩固练习的时间。勉强按规定时间讲完，一些学生听得似懂非懂，造成差生越来越多。而且知识内容需要补充的内容有：乘法公式；因式分解的十字相乘法；一元二次方程及根与系数的关系；根式的运算；解不等式等知识。

3、虽然经常要求学生课后要去完成教辅上的精选的题目，但是，相当部分的同学还是没办法完成。学生的课业负担太重，有的学生则是学习意识淡薄。

三、今后要注意的几点

1、要处理好课时紧张与教学内容多的矛盾，加强对教材的研究；

2、注意对教辅材料题目的精选；

3、要加强对数学后进生的思想教育。

总之，作为一名高中的数学教师，一定要熟读教材，突破重难点，把握考点，注意学生的学习方法指导，我将把握好每一天，继续努力，争取更好的成绩。

篇二：高中数学教学工作总结

高中数学教学工作总结

徐明海

今年我担任高三（2）班的数学课。在教学上，我花了较多的时间钻研教材，弄清教材的重点和难点，尽可能的用形象的语言化难为易。班级学生的基础较差，要让他们的成绩有所提高，不是一件很容易的事，这让我感觉压力较大，但是我没有丝毫的退缩，反而这些压力给了我动力。这一年的时间过得是忙忙碌碌，但感觉很充实，也有一些收获和感受。自己在业务知识水平、教学能力、师德品质等方面都有了一定的提高，学生的成绩比起去年来有了一定的进步，但还没有达到我的目标。现从以下四个方面谈谈近一年来的情况。

一、我坚持正确的政治方向，拥护党的领导。认真学习邓小平理论、党的十五大报告、《第三次全国教育会议精神》、江总书记的“三个代表”理论，不断加强自身的政治理论修养。热爱教育事业，积极贯彻党的教育方针，认真学习全教会精神。严格遵守《中小学教师职业道德规范》、《中小学教师日常行为规范》，把热爱教育事业，热爱学生的职业道德融为一体，努力完成教书和育人的双重任务。

二、我平时加强理论学习。理论来源于实践，然而实践离不开理论的指导。今年我继续加强教育理论学习，相继学习了《课堂教学论》、《现代教育技术》，常去翻阅《中学教学研究》、《数学教育学》等书籍，学习教育家的教育理论。经过学习，我对教学方法更加重视和讲究，注意发挥学生的主体性，发动学生主体积极参与教学过程，探讨启发式教学的有效形式，以

“问题”作为数学的教学起点，顺应学生的思维方式进行教学。尽管如此，理论水平还远远不够，以后我更要加强理论学习和理论研究。

在教学活动的设计中，发觉以概念作为教学的起点的方法，与数学思维活动的顺序相反，丝毫引不起学生的学习数学的兴趣。因此在教学中采用多种形式的教学，提高学生学习数学的兴趣。

三、我能遵守学校的各项规章制度，积极参加学校组织的各项活动。踏踏实实、认认真真地搞好日常教学工作的环节：精心备课，认真上课，仔细批改作业，并认真评讲，积极做好课外辅导和补差工作。

在教学工作中，我能积极贯彻素质教育方针，把提高素质，发展能力放在首位。因为我们的学生底子较差，课前、课后、课上的效率都不太高，针对这种情况，课堂教学我采用多种教学形式，尽量的将一些枯燥无味的东西讲得形象生动一些，提高他们学习数学的兴趣。最高兴的就是听到学生说他现在开绐对数学有兴趣了。

四、几点反思

很遗撼的是：这一年我们班的成绩上升得不快。我对此分析出几点原因：

（1）由于底子薄，而我有时上课选的例题难度系数比较大，他们难以接受；

（2）难度大了，就忽略了基础知识的掌握，所以学生学得不够踏实。（3）虽然改了以往的只讲思路，不讲过程的情况，上课能够将详细的解题过程写出，但学生在听课时只顾着做笔记，没有听讲解方法，以至于思想方法不理解，就不能举一反三了。（4）学生对教师的依赖性太大，动手能力差，遇到问题不去思考，不去分析，更别谈进行逻缉推理。（5）自觉性不高，课后练习不能保质保量的完成，有时还出现抄袭现象。

针对这个现象，我决定对于个别学生，特别是很多数学底子很薄弱的学生，不能指望他们能在高考中拿到后面的提高分，只要能够将基础的70%就够了，所以我决定从最基础的知识下手，每天做几道最简单的题，巩固基础知识。

同时我还认识到我有以下不足：①作为一名党员，没能发挥其应该发挥的带头作用；②自己的教育教学理论知识很缺乏；③ 对于“一专多能”的目标还相差很远。

这是我对一年来教学的总结，也是我的一些心得和体会，在以后的教学中我会加倍努力，加强自己的专业知识，扩充自己的知识面，完善知识结构，改正自己在教学上的错误方法，努力探索，争做一名优秀的人民教师。

20xx-12-17

篇三：高二数学教师工作总结

高二数学教师工作总结

南江四中刘庆友

在本学期，我教授的是高二（2）（5）两个班级，人数共有122人。现就本学期的工作作了以下总结，以便今后工作能做得更好。

一、积极参与学校活动，提高思想觉悟

在学校参加各种培训，不断更新自己的知识，遵守学校各种规章制度，积极主动参加各级的教育活动，加强师德修养，严格约束自己，做好教书育人，因材施教工作，做到为人师表，服从领导安排，注意与同事、学生搞好团结，创建好和谐的课堂教学环境。对学生既严格要求又尊重学生，使学生学有所得。同时不断提高自己的教学水平和思想觉悟，注意提高自己的学术水平，用学得的理论和工作经验作为指导自己的教育教学工作，并且在日常工作中虚心向取得成功的老师学习经验。

二、提升教学质量，提高课堂教学效果

在教学工作既是一项常规工作又是一项具有创新的，永无止境的工作。社会在不断地发展，时代在不断地前进，学生的特点和存在的问题也在不断发生着变化。为了适应不断发展地需要，教材也在不断变化，教学内容在不断更新，这也给老师提出了教学方法要适应时代的发展，自己的知识结构要更新才能适应时代的要求。首先除了坚持参加学校举办的校本培训外，还利用大量的业余时间自觉学习了解新课程的教育理念，并利用课余进行教学反思，写好教学总结。其次，了解，分析和研究学生情况，有针对性和有效性地教学，对教学成功与否至关重要。为此，我在开学初，针对本班学生的学习实际情况，制定教学计划。最初接触先了解学生学习接受能力的情况，专心研究书本，教材，课标要求，想方设法令课堂生动，学生更容易接受。但一开始，工作进行得并不，认为教学效果如期理想，怎知课后调查出来才知道不如人意。后来听同学们反应，才知道我课堂讲的大部分同学听懂了，但作业不做不出来。而教学的部分内容同学们以前从来未接触过，授课采用高中常见的教学方式，同学们还不能适应，让学生在课堂上练习和指导的量较少，加大学生的学习难度和压力。所以照顾不到整体，而我班的同学比较活跃，学习欠自律性，优良生比例不大，备课时有时候会忽略到这点，因此教学效果不是很理想。从此可以看出，了解及分析学生实际情况，实事求是，具体问题具体分析，做到因材施教，对授课效果有直接影响。这就是教育学中提到的“备教法的同时要备学生”。这一理论在我的教学实践中得到了验证。同时，注重要在课堂教学中始终坚持“教师主导、学生主体、教学为主线”的愉快式教学，讲究讲练有机结合，尤其是要注重在课堂教学中充分给学生时间进行自主、合作、探究学习，给学生机会让学生自己提出问题，自己想办法解决问题，自己找伙伴搭档，注重培养学生养成学习数学正确学习习惯，同时积极做好学习特困生的工作，用发展的眼光看学习特困生，不歧视、冷淡，做到“真诚、耐心”，允许他们学新知时暂时听不懂，给他们一个接受知识的过程，尽最大限度保护他们学习自尊心和求知兴趣。当然我觉得自己作得还相当不够，还会在这方面继续努力，让高二年级的学生能在数学兴趣中显出自信。

由于在整个学校规范的教学行为带动下，我基本上能作到因材施教，及时发现、研究、反思和解决教学工作中的新情况、新问题，从而在教学上取得点滴的成绩，在本学期中，成绩较以往还是比较理想的,为了让学生的成绩能逐步提升成绩，努力抓好后进生，面对学生取得的优异的成绩，我觉得是对我也是一种鼓舞和推动，让我对自己更有信心，对我所喜爱的教育事业更有一份执着。

三、紧抓自己的教学常规工作，培养学生良好数学学习惯

课前准备：备好课。备教材备课标。认真钻研课程标准和教材，对教材的基本思想、基本概念吃透，了解教材的结构，重点与难点，掌握知识的逻辑，能运用自如，知道应如何处理教材和补充哪些资料，才能教好。备学生，了解学生原有的知识技能的质量，他们的兴趣、需要、方法、习惯，学习新知识可能会有哪些困难，采取相应的预防措施。备教法，考虑教法，解决如何把已掌握的教材传授给学生，包括如何组织教材、如何安排每节课的活动。本学期结合以前的教学，采用培养学生的自学能力和探究能力为主，安排好课时，积极探索能够提高学生成绩的更好的方法。组织好课堂教学，关注全体学生，注意信息反馈，调动学生的注意力，创造良好的课堂气氛，布置好家庭作业，作业少而精，减轻学生的负担。积极参与听课、评课，虚心向同行学习教学方法。

平时的教学工作，注重从学生的基础抓起即概念开始，先进行,然后通过多练习,多讨论,多交流。在这些实施过程中，做到作业定期的抽查和检查，断绝一些学生侥幸的写作业心理，写作业与老师查或不查挂钩；日常单元测试狠抓不懈，每天家庭作业亲自检查，使学生形成一个良好的数学学习习惯。

四、渗透好德育，创建和谐的教学环境

利用平时课堂教学不断渗透德育教育工作，培养学生的良好的学习习惯。想让学生切实按照老师的要求去做，就必须在思想上和习惯让他们做到,有了好习惯，很多事情学生会自主去解决。在这方面，我主要做法：先由学生自己总结出错的原因和意图，考虑到对别人产生怎样的影响，同时注意阳光语言的使用。教会学生在活动中锻炼自己，通过活动锻炼学生的创新能力和合作能力。这样，使学生端正思想，增强了坚决克服困难的决心。对于个别同学的思想有问题的，采取引导和宽容，适当的批评相结合，使之不断进步。在思想上，热爱学生，公平和平等的对待每一个学生，让他们都感受到老师的关心，良好的师生关系促进了学生的学习。

总之，当今社会对教师的素质要求不断提高，在教育教学工作中，需更严格要求自己，从多方面加强不断提高自己的教育教学工作素质，在工作中不断发扬优点，避开缺点，开拓前进，不断地奉献自己的力量。一份耕耘，一份收获，相信自己和学生不断在提高，不断发现新的方法。

小学数学知识点总结

1

归一问题

【含义】

在解题时，先求出一份是多少(即单一量)，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】

总量份数=1份数量

1份数量所占份数=所求几份的数量

另一总量(总量份数)=所求份数

【解题思路和方法】

先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1

买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱?

解

(1)买1支铅笔多少钱?0.65=0.12(元)

(2)买16支铅笔需要多少钱?0.1216=1.92(元)

列成综合算式0.6516=0.1216=1.92(元)

答：需要1.92元。

例2

3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷?

解

(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷?9033=10(公顷)

(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷?1056=300(公顷)

列成综合算式903356=1030=300(公顷)

答：5台拖拉机6天耕地300公顷。

例3

5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次?

解

(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材?10054=5(吨)

(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材?57=35(吨)

(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次?10535=3(次)

列成综合算式105(100547)=3(次)

答：需要运3次。

2

归总问题

【含义】

解题时，常常先找出总数量，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓总数量是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

【数量关系】

1份数量份数=总量

总量1份数量=份数

总量另一份数=另一每份数量

【解题思路和方法】

先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例1

服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套?

解

(1)这批布总共有多少米?3.2791=2531.2(米)

(2)现在可以做多少套?2531.22.8=904(套)

列成综合算式3.27912.8=904(套)

答：现在可以做904套。

例2

小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》?

解

(1)《红岩》这本书总共多少页?2412=288(页)

(2)小明几天可以读完《红岩》?28836=8(天)

列成综合算式241236=8(天)

答：小明8天可以读完《红岩》。

例3

食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天?

解

(1)这批蔬菜共有多少千克?5030=1500(千克)

(2)这批蔬菜可以吃多少天?1500(50+10)=25(天)

列成综合算式5030(50+10)=150060=25(天)

答：这批蔬菜可以吃25天。

3

和差问题

【含义】

已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】

大数=(和+差)2

小数=(和-差)2

【解题思路和方法】

简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。

例1

甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人?

解

甲班人数=(98+6)2=52(人)

乙班人数=(98-6)2=46(人)

答：甲班有52人，乙班有46人。

例2

长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。

解

长=(18+2)2=10(厘米)

宽=(18-2)2=8(厘米)

长方形的面积=108=80(平方厘米)

答：长方形的面积为80平方厘米。

例3

有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解

甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知

甲袋化肥重量=(22+2)2=12(千克)

丙袋化肥重量=(22-2)2=10(千克)

乙袋化肥重量=32-12=20(千克)

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

例4

甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐?

解

从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是(142+3)，甲与乙的和是97，因此甲车筐数=(97+142+3)2=64(筐)

乙车筐数=97-64=33(筐)

答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。

4

和倍问题

【含义】

已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】

总和(几倍+1)=较小的数

总和-较小的数=较大的数

较小的数几倍=较大的数

【解题思路和方法】

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵?

解

(1)杏树有多少棵?248(3+1)=62(棵)

(2)桃树有多少棵?623=186(棵)

答：杏树有62棵，桃树有186棵。

例2

东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨?

解

(1)西库存粮数=480(1.4+1)=200(吨)

(2)东库存粮数=480-200=280(吨)

答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。

例3

甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍?

解

每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍，

那么，几天以后甲站的车辆数减少为

(52+32)(2+1)=28(辆)

所求天数为(52-28)(28-24)=6(天)

答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

例4

甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少?

解

乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。

因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍;

又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍;

这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么，

甲数=(170+4-6)(1+2+3)=28

乙数=282-4=52

丙数=283+6=90

答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。

5
差倍问题

【含义】

已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】

两个数的差(几倍-1)=较小的数

较小的数几倍=较大的数

【解题思路和方法】

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵?

解

(1)杏树有多少棵?124(3-1)=62(棵)

(2)桃树有多少棵?623=186(棵)

答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

例2

爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁?

解

(1)儿子年龄=27(4-1)=9(岁)

(2)爸爸年龄=94=36(岁)

答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。

例3

商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元?

解

如果把上月盈利作为1倍量，则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍，因此

上月盈利=(30-12)(2-1)=18(万元)

本月盈利=18+30=48(万元)

答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。

例4

粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍?

解

由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相当于(3-1)倍，因此

剩下的小麦数量=(138-94)(3-1)=22(吨)

运出的小麦数量=94-22=72(吨)

运粮的天数=729=8(天)

答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

6

倍比问题

【含义】

有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

【数量关系】

总量一个数量=倍数

另一个数量倍数=另一总量

【解题思路和方法】

先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

例1

100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少?

解

(1)3700千克是100千克的多少倍?3700100=37(倍)

(2)可以榨油多少千克?4037=1480(千克)

列成综合算式40(3700100)=1480(千克)

答：可以榨油1480千克。

例2

今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵?

解

(1)48000名是300名的多少倍?48000300=160(倍)

(2)共植树多少棵?400160=64000(棵)

列成综合算式400(48000300)=64000(棵)

答：全县48000名师生共植树64000棵。

例3

凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元?

解

(1)800亩是4亩的几倍?8004=200(倍)

(2)800亩收入多少元?11111200=2222200(元)

(3)16000亩是800亩的几倍?16000800=20(倍)

(4)16000亩收入多少元?222220020=44444000(元)

答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。

相遇问题

【含义】

两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】

相遇时间=总路程(甲速+乙速)

总路程=(甲速+乙速)相遇时间

【解题思路和方法】

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1

南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇?

解

392(28+21)=8(小时)

答：经过8小时两船相遇。

例2

小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间?

解

第二次相遇可以理解为二人跑了两圈。

因此总路程为4002

相遇时间=(4002)(5+3)=100(秒)

答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。

例3

甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

解

两人在距中点3千米处相遇是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是(32)千米，因此，

相遇时间=(32)(15-13)=3(小时)

两地距离=(15+13)3=84(千米)

答：两地距离是84千米。

8
追及问题

【含义】

两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】

追及时间=追及路程(快速-慢速)

追及路程=(快速-慢速)追及时间

【解题思路和方法】

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马?

解

(1)劣马先走12天能走多少千米?7512=900(千米)

(2)好马几天追上劣马?900(120-75)=20(天)

列成综合算式7512(120-75)=90045=20(天)

答：好马20天能追上劣马。

例2

小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解

小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用[40(500200)]秒，所以小亮的速度是

(500-200)[40(500200)]

=300100=3(米)

答：小亮的速度是每秒3米。

例3

我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人?

解

敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时，这段时间敌人逃跑的路程是[10(22-6)]千米，甲乙两地相距60千米。由此推知

追及时间=[10(22-6)+60](30-10)

=22020=11(小时)

答：解放军在11小时后可以追上敌人。

例4

一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

解

这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(162)千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，

这个时间为162(48-40)=4(小时)

所以两站间的距离为(48+40)4=352(千米)

列成综合算式(48+40)[162(48-40)]

=884

=352(千米)

答：甲乙两站的距离是352千米。

9

植树问题

【含义】

按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】

线形植树棵数=距离棵距+1

环形植树棵数=距离棵距

方形植树棵数=距离棵距-4

三角形植树棵数=距离棵距-3

面积植树棵数=面积(棵距行距)

【解题思路和方法】

先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例1

一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳?

解

1362+1=68+1=69(棵)

答：一共要栽69棵垂柳。

例2

一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树?

解

4004=100(棵)

答：一共能栽100棵白杨树。

例3

一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯?

解

22048-4=110-4=106(个)

答：一共可以安装106个照明灯。

例4

给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖?

解

96(0.60.4)=960.24=400(块)

答：至少需要400块地板砖。

例5

一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯?

解

(1)桥的一边有多少个电杆?50050+1=11(个)

(2)桥的两边有多少个电杆?112=22(个)

(3)大桥两边可安装多少盏路灯?222=44(盏)

答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。

10
年龄问题

【含义】

这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】

年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住年龄差不变这个特点。

【解题思路和方法】

可以利用差倍问题的解题思路和方法。

例1

爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?

解

355=7(倍)

(35+1)(5+1)=6(倍)

答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，

明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

例2

母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍?

解

(1)母亲比女儿的年龄大多少岁?37-7=30(岁)

(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30(4-1)-7=3(年)

列成综合算式(37-7)(4-1)-7=3(年)

答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。

例3

甲对乙说：当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁。求甲乙现在的岁数各是多少?

解

这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：

过去某一年今年将来某一年

甲 □岁 △岁 61岁

乙 4岁 □岁 △岁

表中两个□表示同一个数，两个△表示同一个数。

因为两个人的年龄差总相等：□-4=△-□=61-△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，

因此二人年龄差为(61-4)3=19(岁)

甲今年的岁数为△=61-19=42(岁)

乙今年的岁数为□=42-19=23(岁)

答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。

行船问题

【含义】

行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】

(顺水速度+逆水速度)2=船速

(顺水速度-逆水速度)2=水速

顺水速=船速2-逆水速=逆水速+水速2

逆水速=船速2-顺水速=顺水速-水速2

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时?

解

由条件知，顺水速=船速+水速=3208，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时3208-15=25(千米)

船的逆水速为25-15=10(千米)

船逆水行这段路程的时间为320xx=32(小时)

答：这只船逆水行这段路程需用32小时。

例2

甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间?

解

由题意得甲船速+水速=36010=36

甲船速-水速=36018=20

可见(36-20)相当于水速的2倍，

所以，水速为每小时(36-20)2=8(千米)

又因为，乙船速-水速=36015，

所以，乙船速为36015+8=32(千米)

乙船顺水速为32+8=40(千米)

所以，乙船顺水航行360千米需要

36040=9(小时)

答：乙船返回原地需要9小时。

列车问题

【含义】

这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】

火车过桥：过桥时间=(车长+桥长)车速

火车追及：追及时间=(甲车长+乙车长+距离)

(甲车速-乙车速)

火车相遇：相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)

(甲车速+乙车速)

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?

解

火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。

(1)火车3分钟行多少米?9003=2700(米)

(2)这列火车长多少米?2700-2400=300(米)

列成综合算式9003-2400=300(米)

答：这列火车长300米。

例2

一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米?

解

火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒，所走的路程是(8125)米，这段路程就是(200米+桥长)，所以，桥长为

8125-200=800(米)

答：大桥的长度是800米。

例3

一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间?

解

从追上到追过，快车比慢车要多行(225+140)米，而快车比慢车每秒多行(22-17)米，因此，所求的时间为

(225+140)(22-17)=73(秒)

答：需要73秒。

例4

一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间?

解

如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。

150(22+3)=6(秒)

答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。

时钟问题

【含义】

就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

【数量关系】

分针的速度是时针的12倍，

二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】

变通为追及问题后可以直接利用公式。

例1

从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合?

解

钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格;时针每小时走5格，每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以

分针追上时针的时间为20(1-1/12)22(分)

答：再经过22分钟时针正好与分针重合。

例2

四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角?

解

钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候，分针在时针后(54)格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走(54-15)格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走(54+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。

(54-15)(1-1/12)6(分)

(54+15)(1-1/12)38(分)

答：4点06分及4点38分时两针成直角。

例3

六点与七点之间什么时候时针与分针重合?

解

六点整的时候，分针在时针后(56)格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。

(56)(1-1/12)33(分)

答：6点33分的时候分针与时针重合。

盈亏问题

【含义】

根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余(盈)，一次不足(亏)，或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】

一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总人数=(盈+亏)分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数=(大盈-小盈)分配差

参加分配总人数=(大亏-小亏)分配差

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?

解

按照参加分配的总人数=(盈+亏)分配差的数量关系：

(1)有小朋友多少人?(11+1)(4-3)=12(人)

(2)有多少个苹果?312+11=47(个)

答：有小朋友12人，有47个苹果。

例2

修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天;如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米?

解

题中原定完成任务的天数，就相当于参加分配的总人数，按照参加分配的总人数=(大亏-小亏)分配差的数量关系，可以得知

原定完成任务的天数为

(2608-3004)(300-260)=22(天)

这条路全长为300(22+4)=7800(米)

答：这条路全长7800米。

例3

学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人;如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车?多少人?

解

本题中的车辆数就相当于参加分配的总人数，于是就有

(1)有多少车?(30-0)(45-40)=6(辆)

(2)有多少人?406+30=270(人)

答：有6辆车，有270人。

工程问题

【含义】

工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出一项工程、一块土地、一条水渠、一件工作等，在解题时，常常用单位1表示工作总量。

【数量关系】

解答工程问题的关键是把工作总量看作1，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几)，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量=工作效率工作时间

工作时间=工作量工作效率

工作时间=总工作量(甲工作效率+乙工作效率)

【解题思路和方法】

变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1

一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成?

解

题中的一项工程是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位1。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15;两队合做，每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。

由此可以列出算式：1(1/10+1/15)=11/6=6(天)

答：两队合做需要6天完成。

例2

一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个?

解一

设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成(1/6-1/8)，二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要[1(1/6+1/8)]小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以

(1)每小时甲比乙多做多少零件?

24[1(1/6+1/8)]=7(个)

(2)这批零件共有多少个?

7(1/6-1/8)=168(个)

答：这批零件共有168个。

解二

上面这道题还可以用另一种方法计算：

两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3

由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7

所以，这批零件共有241/7=168(个)

例3

一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成?

解

必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是

6012=56010=66015=4

因此余下的工作量由乙丙合做还需要

(60-52)(6+4)=5(小时)

答：还需要5小时才能完成。

例4

一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管?

解：

注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。

要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。

我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为(145)，2个进水管15小时注水量为(1215)，从而可知

每小时的排水量为(1215-145)(15-5)=1

即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知

一池水的总工作量为145-15=15

又因为在2小时内，每个进水管的注水量为12，

所以，2小时内注满一池水

至少需要多少个进水管?(15+12)(12)

=8.59(个)

答：至少需要9个进水管。

正反比例问题

【含义】

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定)，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

【数量关系】

判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

【解题思路和方法】

解决这类问题的重要方法是：把分率(倍数)转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1

修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米?

解

由条件知，公路总长不变。

原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12

现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12

比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于(4-3)份，从而知公路总长为300(4-3)12=3600(米)

答：这条公路总长3600米。

例2

张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题?

解

做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系

设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X

28X=914X=91428X=13

答：91分钟可以做13道应用题。

例3

孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完?

解

书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系

设X天可以看完，就有24∶36=X∶15

36X=2415X=10

答：10天就可以看完。

按比例分配问题

【含义】

所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】

从条件看，已知总量和几个部分量的比;从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和

【解题思路和方法】

先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母，比的前后项分别作分子)，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1

学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵?

解

总份数为47+48+45=140

一班植树56047/140=188(棵)

二班植树56048/140=192(棵)

三班植树56045/140=180(棵)

答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2

用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?

解

3+4+5=12603/12=15(厘米)

604/12=20(厘米)

605/12=25(厘米)

答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

例3

从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。

解

如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到

1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2

9+6+2=17179/17=9

176/17=6172/17=2

答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。

例4

某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人?

解

80(12-8)(8+12+21)=820(人)

答：三个车间一共820人。

百分数问题

【含义】

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需;分数既可以表示率，也可以表示量，而百分数只能表示率;分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号%。

在实际中和常用到百分点这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

【数量关系】

掌握百分数、标准量比较量三者之间的数量关系：

百分数=比较量标准量

标准量=比较量百分数

【解题思路和方法】

一般有三种基本类型：

(1)求一个数是另一个数的百分之几;

(2)已知一个数，求它的百分之几是多少;

(3)已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1

仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几?

解

(1)用去的占720(720+6480)=10%

(2)剩下的占6480(720+6480)=90%

答：用去了10%，剩下90%。

例2

红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几?

解

本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以(525-420)525=0.2=20%

或者1-420525=0.2=20%

答：男职工人数比女职工少20%。

例3

红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几?

解

本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此

(525-420)420=0.25=25%

或者525420-1=0.25=25%

答：女职工人数比男职工多25%。

例4

红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?

解

(1)男职工占420(420+525)=0.444=44.4%

(2)女职工占525(420+525)=0.556=55.6%

答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。

牛吃草问题

【含义】

牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫牛顿问题。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】

草总量=原有草量+草每天生长量天数

【解题思路和方法】

解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1

一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?

解

草是均匀生长的，所以，草总量=原有草量+草每天生长量天数。求多少头牛5天可以把草吃完，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：

(1)求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即(11020);另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

11020=原有草量+20天内生长量

同理11510=原有草量+10天内生长量

由此可知(20-10)天内草的生长量为

11020-11510=50

因此，草每天的生长量为50(20-10)=5

(2)求原有草量

原有草量=10天内总草量-10内生长量=11510-510=100

(3)求5天内草总量

5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+55=125

(4)求多少头牛5天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。

因此5天吃完草需要牛的头数1255=25(头)

答：需要5头牛5天可以把草吃完。

例2

一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完;如果只有5人淘

水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?

解

这是一道变相的牛吃草问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数(相当于牛数)，求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：

(1)求每小时进水量

因为，3小时内的总水量=1123=原有水量+3小时进水量

10小时内的总水量=1510=原有水量+10小时进水量

所以，(10-3)小时内的进水量为1510-1123=14

因此，每小时的进水量为14(10-3)=2

(2)求淘水前原有水量

原有水量=1123-3小时进水量=36-23=30

(3)求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2)，所以17人淘完水的时间是

30(17-2)=2(小时)

答：17人2小时可以淘完水。

鸡兔同笼问题

【含义】

这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】

第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有

兔数=(实际脚数-2鸡兔总数)(4-2)

假设全都是兔，则有

鸡数=(4鸡兔总数-实际脚数)(4-2)

第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有

兔数=(2鸡兔总数-鸡与兔脚之差)(4+2)

假设全都是兔，则有

鸡数=(4鸡兔总数+鸡与兔脚之差)(4+2)

【解题思路和方法】

解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡;如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。

例1

长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡?

解

假设35只全为兔，则

鸡数=(435-94)(4-2)=23(只)

兔数=35-23=12(只)

也可以先假设35只全为鸡，则

兔数=(94-235)(4-2)=12(只)

鸡数=35-12=23(只)

答：有鸡23只，有兔12只。

例2

2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩?

解

此题实际上是改头换面的鸡兔同笼问题。每亩菠菜施肥(12)千克与每只鸡有两个脚相对应，每亩白菜施肥(35)千克与每只兔有4只脚相对应，16亩与鸡兔总数相对应，9千克与鸡兔总脚数相对应。假设16亩全都是菠菜，则有

白菜亩数=(9-1216)(35-12)=10(亩)

答：白菜地有10亩。

例3

李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?

解

此题可以变通为鸡兔同笼问题。假设45本全都是日记本，则有

作业本数=(69-0.7045)(3.20-0.70)=15(本)

日记本数=45-15=30(本)

答：作业本有15本，日记本有30本。

例4

(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只?

解

假设100只全都是鸡，则有

兔数=(2100-80)(4+2)=20(只)

鸡数=100-20=80(只)

答：有鸡80只，有兔20只。

例5

有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人?

解

假设全为大和尚，则共吃馍(3100)个，比实际多吃(3100-100)个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以小换大，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此，共有小和尚

(3100-100)(3-1/3)=75(人)

共有大和尚100-75=25(人)

答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

方阵问题

【含义】

将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】

(1)方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数=(每边人数-1)4

每边人数=四周人数4+1

(2)方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数=每边人数每边人数

空心方阵：总人数=(外边人数)?-(内边人数)?

内边人数=外边人数-层数2

(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数=(每边人数-层数)层数4

【解题思路和方法】

方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1

在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人?

解

2222=484(人)

答：参加体操表演的同学一共有484人。

例2

有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。

解

10-(10-32)?

=84(人)

答：全方阵84人。

例3

有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人?

解

(1)中空方阵外层每边人数=524+1=14(人)

(2)中空方阵内层每边人数=284-1=6(人)

(3)中空方阵的总人数=1414-66=160(人)

答：这队学生共160人。

例4

一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个?

解

(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)

(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)2=7(只)

(3)原有棋子数=77-9=40(只)

答：棋子有40只。

例5

有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?

解

第一种方法：1+2+3+4+5=15(棵)

第二种方法：(5+1)52=15(棵)

答：这个三角形树林一共有15棵树。

二次函数的知识点归纳总结

篇一：二次函数知识点概括总结

二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分二次函数基础知识

? 相关概念及定义

b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。这? 二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，

c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，

数．

? 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，

? 二次函数各种形式之间的变换

? 二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中

b4ac?b2

h??，k?.

2a4a

? 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④

y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.

? 二次函数解析式的表示方法

? 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；

? 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；

? 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

? 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，

只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ? 抛物线y?ax2?bx?c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；

.特别地，y轴记作直线x?0. 2a

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

? 对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x??

b4ac?b2

（?）? 顶点坐标坐标：

2a4a

? 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口

大小完全相同，只是顶点的位置不同. ? 抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c与函数图像的关系 ? 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．

⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

? 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，

当b?0时，??0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

2ab

当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴；

?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a

⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即

当b?0时，??0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

2ab

当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴；

2ab

当b?0时，??0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：

? 常数项c

⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a，

? 求抛物线的顶点、对称轴的方法

当b?0时，?

b4ac?b2b?4ac?b2?

（?）? 公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，对称轴是直线??

2a4a2a?4a?

bx??.

? 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对

称轴是直线x?h.

? 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是

抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ? 用待定系数法求二次函数的解析式

? 一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. ? 顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

? 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. ? 直线与抛物线的交点

y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).

? 与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点(h,ah?bh?c).

? 抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离.

? 平行于x轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标

是ax?bx?c?k的两个实数根.

一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点，

? 由方程组 ?

?y?kx?n?y?ax?bx?c

的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②

方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.

? 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1，0?，B?x2，0?，由于

x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故

x1?x2??,x1?x2?

AB?x1?x2?

x1?x22

b2?4ac??b?4c

?4x1x2???????

aaaa??

? 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

? 关于x轴对称

y?a2x?bx?关于cx轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；

y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k； ? 关于y轴对称

y?a2x?bx?关于cy轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；

y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k； ? 关于原点对称 y?a2x?bx?关于原点对称后，得到的解析式是cy??ax2?bx?c； y?a?x??h?关于原点对称后，得到的解析式是ky??a?x?h??k；

? 关于顶点对称

b2 y?ax?bx?关于顶点对称后，得到的解析式是cy??ax?bx?c?；

y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．

? 关于点?m，n?对称

n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m，

? 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不

变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是

先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

? 二次函数图象的平移

? 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

? 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 ? 三点式。

1，已知抛物线y=ax+bx+c 经过A（，0），B（2，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。

２

2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。 ? 顶点式。

1，已知抛物线y=x-2ax+a+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。

2，已知抛物线 y=4(x+a)-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 ? 交点式。

1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=? 定点式。

1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线y??

a(x-2a)(x-b)的解析式。 2

125?ax?x?2a?2经过x 轴上一定点Q，直线22

y?(a?2)x?2经过点Q,求抛物线的解析式。

2，抛物线y= x +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

3，抛物线y=ax+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。 ? 平移式。

1，把抛物线y= -2x 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h) +k,求此抛物

线解析式。 2，抛物线y??x2?x?3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. ? 距离式。

1，抛物线y=ax+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=m x+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 ? 对称轴式。

1、抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。

2、已知抛物线y=-x+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=

OC，求此抛物4

线的解析式。 ? 对称式。

1，平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿

x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。

2，求与抛物线y=x+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。 ? 切点式。

1，已知直线y=ax-a(a≠0) 与抛物线y=mx 有唯一公共点，求抛物线的解析式。

2，直线y=x+a 与抛物线y=ax +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。 ? 判别式式。

1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x+(m+1)x+3解析式。

2、已知抛物线y=(a+2)x-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。

3、已知抛物线y=(m+1)x+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

知识点一、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点（1）一般一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)

（2）两根当抛物线y?ax2?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax?bx?c?0有实根x1和

x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax2?bx?c可转化为

两根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小,a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

（3）三顶点顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k是常数，a?0)

知识点二、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x??

时，2a

y最值

4ac?b2?。

如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?

是否在自变量取值范围x1?x?x2内，若在2a

b4ac?b2

此范围内，则当x=?时，y最值?；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减

2a4a

性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，2

如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1当x?x2y最小?ax12?bx1?c；?bx1?c，2

时，y最小?ax2?bx2?c。

☆、几种特殊的二次函数的图像特征如下：

知识点四、二次函数的性质

1、二次函数y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义：

a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上

a0时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：对称轴为x=?

（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：

2、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的??b?4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当?0时，图像与x轴有两个交点；当?=0时，图像与x轴有一个交点；当?0时，图像与x轴没有交点。

篇二：二次函数知识归纳与总结

二次函数知识归纳与总结

二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果特y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，特别注意那么y叫做x 的二次函数。

a不为零

y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于x??

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线y?ax?bx?c与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点（1）一般一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)

（2）两根当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程

ax2?bx?c?0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式

ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax2?bx?c可转化为两根式

y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（3）三顶点顶点式：y?a(x?h)2?k(a,h,k是常数，a?0)

二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当

b4ac?b2x??时，y最值?。

2a4a

如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?

是否在自变量取值范围2a

b4ac?b2

时，y最值?；若不在此范围内，则x1?x?x2内，若在此范围内，则当x=?2a4a

需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当

x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，y最小?ax12?bx1?c；如果在此范围内，2y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1?bx1?c，当x?x2时，2y最小?ax2?bx2?c。

二次函数的性质

2、二次函数y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义：

a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上

a0时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：对称轴为x=?

（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A坐标为（x1，y1）点B则AB间的距离，即线段AB的长度为

2，二次函数图象的平移

① 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?；

k?处，具体平移方法如下：

② 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，

向右(h0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h0)】

③平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提

高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

特别记忆--同左上加异右下减 (必须理解

记忆)

说明① 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右

②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减

3、直线斜率：

y2?y1 b为直线在y轴上的截距4、直线方程：

k?tan??

x2?x1

4、①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:

y?y1?kx?b?(ta?n)x?b?

y2?y1

x(x?x1)此公式有多种变形牢记 x2?x1

②点斜y?y1?kx(x?x1)

③斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0)

④截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：

xy??1 ab

牢记口诀 ---截距

两点斜截距--两点点斜斜截

5、设两条直线分别为，l1：y?k1x?b1 l2：y?k2x?b2 若l1//l2，则有

l1//l2?k1?k2且b1?b2。若

l1?l2?k1?k2??1

6、点p（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:

kx0?y0?bk?(?1)

kx0?y0?b

k?1

7、抛物线y?ax2?bx?c中， a b c,的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线

x??

，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴2aa

篇三：二次函数知识点总结

b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax?bx?c（a，

c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，

2. 二次函数y?ax?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y?ax?c的性质：上加下减。

3. y?a?x?h?的性质：

左加右减。4.

y?a?x?h??k的性质：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?； ⑵ 保持抛物线y?ax的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：

向右(h0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h0)】

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴

y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成

y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）

⑵

y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或

y?a(x?m)2?b(x?m)?c）

四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax?bx?c的比较

从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即

b?4ac?b2b4ac?b2?

y?a?x???，其中h??．，k?

2a?4a2a4a?

五、二次函数y?ax?bx?c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax?bx?c化为顶点式y?a(x?h)?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与

c?、c?关于对称轴对称的点?2h，c?、以及?0，y轴的交点?0，

0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 与x轴的交点?x1，

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与

六、二次函数y?ax?bx?c的性质

y轴的交点.

?b4ac?b2?b

1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为???． 2a4a2a??

?b4ac?b2?bb

2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??时，y随x的增大而增大；当?．当x??

2a4a2a2a??

bb4ac?b2

． x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y有最大值

2a2a4a

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：y?ax?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2

2. 顶点式：y?a(x?h)?k（a，h，k为常数，a?0）；

3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即

b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a

二次函数y?ax?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．

⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，

当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?

?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2a

?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a

?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a

?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2a

?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a

?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a

⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴x??

总结：3. 常数项c

在y轴左边则ab?0，在y轴的右侧则ab?0，概括的说就是“左同右异” 2a

y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

⑴ 当c?0时，抛物线与

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a，

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

y?ax?bx?c关于x轴对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c；

y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；

2. 关于

y轴对称

y?ax?bx?c关于

y轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；

y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；

3. 关于原点对称

y?ax?bx?c关于原点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c； y?a?x?h??k关于原点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

y?ax?bx?c关于顶点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c?；

y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．

n?对称5. 关于点?m，

n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m，

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax?bx?c?0是二次函数y?ax?bx?c当函数值y?0时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数：

0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次方程① 当??b?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，

ax?bx?c?0?a?

0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x12

② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.

2. 抛物线y?ax?bx?c的图象与3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示

y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

图像参考：

y=-2x2

化学知识点总结

1，掌握一图(原子结构示意图)、五式(分子式、结构式、结构简式、电子式、最简式)、六方程(化学方程式、电离方程式、水解方程式、离子方程式、电极方程式、热化学方程式)的正确书写。

2，最简式相同的有机物：

①CH：C2H2和C6H6

②CH2：烯烃和环烷烃

③CH2O：甲醛、乙酸、甲酸甲酯

④CnH2nO：饱和一元醛(或饱和一元酮)与二倍于其碳原子数和饱和一元羧酸或酯;举一例：乙醛(C2H4O)与丁酸及其异构体(C4H8O2)

3、一般原子的原子核是由质子和中子构成，但氕原子(1H)中无中子。

4、元素周期表中的每个周期不一定从金属元素开始，如第一周期是从氢元素开始。

5、ⅢB所含的元素种类最多。碳元素形成的化合物种类最多，且ⅣA族中元素组成的晶体常常属于原子晶体，如金刚石、晶体硅、二氧化硅、碳化硅等。

6、质量数相同的原子，不一定属于同种元素的原子，如18O与18F、40K与40Ca

7，ⅣA~ⅦA族中只有ⅦA族元素没有同素异形体，且其单质不能与氧气直接化合。

8、活泼金属与活泼非金属一般形成离子化合物，但AlCl3却是共价化合物(熔沸点很低，易升华，为双聚分子，所有原子都达到了最外层为8个电子的稳定结构)。

9、一般元素性质越活泼，其单质的性质也活泼，但N和p相反，因为N2形成叁键。

10、非金属元素之间一般形成共价化合物，但NH4Cl、NH4NO3等铵盐却是离子化合物。

11、离子化合物在一般条件下不存在单个分子，但在气态时却是以单个分子存在。如NaCl。

12、含有非极性键的化合物不一定都是共价化合物，如Na2O2、FeS2、CaC2等是离子化合物。

13、单质分子不一定是非极性分子，如O3是极性分子。

14、一般氢化物中氢为+1价，但在金属氢化物中氢为-1价，如NaH、CaH2等。

15、非金属单质一般不导电，但石墨可以导电，硅是半导体。

16、非金属氧化物一般为酸性氧化物，但CO、NO等不是酸性氧化物，而属于不成盐氧化物。

17、酸性氧化物不一定与水反应：如SiO2。

18、金属氧化物一般为碱性氧化物，但一些高价金属的氧化物反而是酸性氧化物，如：Mn2O7、CrO3等反而属于酸性氧物，2KOH+Mn2O7==2KMnO4+H2O。

19、非金属元素的最高正价和它的负价绝对值之和等于8，但氟无正价，氧在OF2中为+2价。

20、含有阳离子的晶体不一定都含有阴离子，如金属晶体中有金属阳离子而无阴离子。

21、离子晶体不一定只含有离子键，如NaOH、Na2O2、NH4Cl、CH3COONa等中还含有共价键。

22，稀有气体原子的电子层结构一定是稳定结构，其余原子的电子层结构一定不是稳定结构。

23，离子的电子层结构一定是稳定结构。

24，阳离子的半径一定小于对应原子的半径，阴离子的半径一定大于对应原子的半径。

25，一种原子形成的高价阳离子的半径一定小于它的低价阳离子的半径。如Fe3+Fe2+。

26，同种原子间的共价键一定是非极性键，不同原子间的共价键一定是极性键。

27，分子内一定不含有离子键。题目中有分子一词，该物质必为分子晶体。

28，单质分子中一定不含有极性键。

29，共价化合物中一定不含有离子键。

30，含有离子键的化合物一定是离子化合物，形成的晶体一定是离子晶体。

31，含有分子的晶体一定是分子晶体，其余晶体中一定无分子。

32，单质晶体一定不会是离子晶体。

33，化合物形成的晶体一定不是金属晶体。

34，分子间力一定含在分子晶体内，其余晶体一定不存在分子间力(除石墨外)。

35，对于双原子分子，键有极性，分子一定有极性(极性分子);键无极性，分子一定无极性(非极性分子)。

36、氢键也属于分子间的一种相互作用，它只影响分子晶体的熔沸点，对分子稳定性无影响。

37，微粒不一定都指原子，它还可能是分子，阴、阳离子、基团(如羟基、硝基等)。例如，具有10e-的微粒：Ne;O2-、F-、Na+、Mg2+、Al3+;OH-H3O+、CH4、NH3、H2O、HF。

38，失电子难的原子获得电子的能力不一定都强，如碳，稀有气体等。

39，原子的最外电子层有2个电子的元素不一定是ⅡA族元素，如He、副族元素等。

40，原子的最外电子层有1个电子的元素不一定是ⅠA族元素，如Cr、ⅠB族元素等。

41，ⅠA族元素不一定是碱金属元素，还有氢元素。

42，由长、短周期元素组成的族不一定是主族，还有0族。

43，分子内不一定都有化学键，如稀有气体为单原子分子，无化学键。

44，共价化合物中可能含非极性键，如过氧化氢、乙炔等。

45，含有非极性键的化合物不一定是共价化合物，如过氧化钠、二硫化亚铁、乙酸钠、CaC2等是离子化合物。

46，对于多原子分子，键有极性，分子不一定有极性，如二氧化碳、甲烷等是非极性分子。

47，含有阳离子的晶体不一定是离子晶体，如金属晶体。

48，离子化合物不一定都是盐，如Mg3N2、金属碳化物(CaC2)等是离子化合物，但不是盐。

49，盐不一定都是离子化合物，如氯化铝、溴化铝等是共价化合物。

50，固体不一定都是晶体，如玻璃是非晶态物质，再如塑料、橡胶等。

高中数学教师研修总结

这个学期我很荣幸地参加了高中数学教师研修，研修的内容丰富多彩，研修的方式多种多样，既有专家的报告，又有学科带头人的核心理念，还有实体课的观摩研讨。为期五天的培训，我感觉每天都是充实的，因为每天都能面对不同风格的讲师，每天都能感受到思想火花的冲击。在研修中，我进一步认识了新课程的发展方向和目标，反思了自己以往在工作中的不足。作为一名青年教师，我深知自己在教学上有待改进，但是，经过一段时间的学习，我感觉自己受益匪浅。一些对教育教学工作很有见解的专家以鲜活的案例和丰富的知识内涵，给了我具体的操作指导，使我的教育观念进一步得到了更新。

首先，在研修过程中，我深刻认识到以往满堂灌的教学方式固然错误，但随着不断提倡教学改革的今天，教师似乎又走入了让学生过度研讨的误区。有的教师在大多数课中，将大部分时间或全部时间让学生探究或做题或上台讲演，这样的做法并不正确。课堂不应该拘泥于一种形式，纯讲授或纯探究，而应该因课制宜，该以讲授为主的就讲授，以探究为主的就探究，还可以多种教学手段同时使用。所以在不断推行教育改革的今天，总是探究的教育理念也片面化了。

其次，在鲜活的教学案例中，我学到了不少的教学经验。关于选修1-2和2-2中一些课的教学素材的选取，我有了进一步的理解。对于不同层次的学生，有不同的教授方法，书上的素材不一定非讲不可，总之适合学生的素材才是最好的，而非教材上的是必选的。

最后，在教学中要努力实现三个转变：（1）教师学生观的转变。做到用学生的心看待一切，不歧视学生，多赏识学生，达到班上没有差生，只有差异。（2）教师角色的转变。教学过程中，老师是学生的朋友，是学习活动的组织者、引导者，而不是统治者、长官。教学过程是师生平等对话的过程，是师生双方交往共同发展的互动过程。（3）教学方式的转变。教师课堂上教学过程是师生互动过程，学生学习过程不仅要用脑子想而且要用眼睛看，用耳朵听，用嘴说，用手操作。即用自己的亲身经历、用自己的心灵去感悟，教师要积极参与学生的学习过程。学生才能无拘无束的置身于其中，尝试学习，享受学习的乐趣。课堂才能焕发无限的生命力，学生思维活跃，热情高涨，真正成为了学习的主人、课堂的主角。（4）在教学过程中做到：给学生一些权利，让他们自己去选择。给学生一些机会，让他们自己去体验。给学生一点困难，让他们自己去解决。给学生一个问题，让他们自己去找答案。给学生一片空间，让他们自己向前走。

总之，这次研修我学到了很多实践知识。今后我在面对新课程中，会确定更高层次的教学目标。对于教学课而言，不能光是知识的传授，而是包括知识与技能、思考、解决问题、情感与态度等几个方面。那种追求能够教好一节课或教出了几个能考高分的学生为目的的教学已经不符合课改精神了。教会学生知识，教给学生方法，教给学生独立和生存的能力将会成为我的职业追求。

第二篇：高中数学教师研修总结

经过这次的阶段性培训和聆听专家的讲解，我对新课改教学有了一个较系统和认识。基本适应了新课改的要求，以后教学中要进一步完善实现新课改的教学理念和教学方式，继续积极探索新形势下新的、更适合学生的教学模式，为今后我校的发展奠定好的基础。

一、转变教学理念。

理念的转变，是适应数学新课改的根本前提。新课程体系要求建立平等和谐的新型师生关系。重结果轻过程是传统数学课堂教学中的弊端。重结果就是教师在教学中只重视教学的结果，甚至让学生去背诵标准答案。重过程就是教师在教学中把教学的重点放在过程上，放在揭示知识形成的规律上，让学生通过感知概括应用的思维过程去掌握知识，掌握规律。地理课程均以学生为本，以促进学生的发展为总目标。重视学习生活中的终生发展有用的知识，满足学生学习与发展的需要，重视培养学生形成正确的数学观念。

新课程改革要求教师以人为本，它突出培养学生的创新和实践能力、收集处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流协作的能力，发展学生对自然和社会的责任感。另外还要求让每个学生拥有健康的身心，优良的品质和终身学习的愿望与能力，科学和人文素养。养成健康的审美情趣和生活方式。从而实现全体学生的发展，以及学生个体的全面发展。

二、高中数学课程重视探究，注重过程与结果评价的结合

高中数学课程又提出并且倡导自主学习、合作学习和探究学习，重视学生的探究活动，不仅是数学课程而且是这次新一轮课程总体改革的重要理念。还要让学生自己观察、操作、练习、验证、搜寻、思索、判断、分析。这样既可提高学习对学生的吸引力，还能培养学生的实践能力，更能在实践过程中发现问题，进而在解决问题的过程中激发学生的潜能和创造力，有利于学生素质的全面提高。重视反映学生发展状况的过程性评价，实现评价目标多元化、评价手段多样化，强调形成性评价与终结性评价相结合、定性评价与定量评价相结合、反思性评价与鼓励性评价相结合。

三、改变学生的学习方式。

新课程积极倡导自主、合作、探究的学习方式。通过近几年的教学实践，学生的学习方式有了很大的转变，学生的主动学习意识不断增强。

1、培养学生学习的兴趣和自学能力。数学学科的综合性、应用性和实践性为学生自主学习提供了广阔的发展空间。课堂上教师应留给学生一定的时间和空间，将主动权交给学生，让学生主动探究、自主学习。

2、不要让自主变成了放任。只要走进课堂，就会发现：老师把一节课的问题引领呈现出来后，学习通过自主学习，小组合作以及组内、全班展示后，大多问题都可以学习明白，教师再重点进行点拨。这种学习方式，确实有利于提高学生学习数学的积极性和主动性，特别是有利于调动学生的学习兴趣和张扬学生的个性，弥补了传统教学的不足。让学生的自主与教师的引导合而为一，高度统一，相互促进。关键是我们在教学过程中要寻找衡点，做到导放有度。

3、不要让合作停留于形式。我们经常看到课堂上在学生没有充分思考的情况下就进行合作学习的情况，由于学生对教材的理解还不深入，对客观事物的认识也不深刻，这样的合作只能流于形式，只能是为个别优生提供展示的机会，小组合作加工整理的结果与所得也是肤浅的、片面的。指导合作学习时要注意：一是做好合作准备。对每组的学生要教给他们学习方法。另外在小组合作学习之前，教师一定要留给学生充足的独立思考的时间，学生必须对所需要研究的问题有初步的认识和了解，然后再进行小组合作学习。二是明确合作目标。在小组合作之前教师要让学生明确小组合作的目的是什么通过合作要达到什么目标，各小组在合作中担任什么角色、需要完成什么任务，从而有的放矢的让学生进行小组合作学习。

四、教学中利用现代化教学手段提高兴趣。

利用现代化教学手段培养学生创新思维。现代教学手段大大提高了课堂教学效率，激发学生学习地理的兴趣。教师应据一定的教学目标、教学内容和学生的实际、对多媒体素材进行筛选，再进行教学，如可用计算机将静止、枯燥的知识转化成图文并茂的动态知识。

总之，新课标的学习过程也是一个理性和创造的过程，需要每个教育工作者在把握学生学习心理的基础上，对它进行深入的研究到导与放的切入点，真真落实到实践中来。

第三篇：高中数学教师研修总结

20ｘｘ年10月2411月1日，我有幸在省教育厅国培办的推荐和我们学校大力支持下和来自福建的另外三名教师一起参加了由ｘｘ师范大学承办的国培计划（20ｘｘ）高中数学一线优秀教师示范培训，本次培训有来自12个省份的50位一线教师。本次培训紧紧围绕一线优秀教师技能培训这一基本任务，以数学教师课堂教学能力提升为主线，以参与式为主要培训方式，提升数学教师的课堂教学设计能力，课堂教学创新能力，课堂教学实践能力，短暂紧凑的10天培训，领略了高校专家的朴实、严谨、丰厚的数学底蕴、欣赏了国内特级名优教师的灵动丰满的数学报告、折服于同班同学踏实上进的学习特质、陶醉于和谐融洽的同学关系。短短的培训，深深的缘分，远远的发展在路上，甚有一种踏花归来马蹄香的意味！现将培训学习情况汇报如下：

一、专家讲座精彩朴实

本次培训以学科专业技能提升为主旨，听取了11位国培专家的专题讲座，既有中学数学泰斗级的《数学教育学报》副主编、天津师范大学王光明教授，有来人民教育出版社中学数学室主任、课程教材研究所研究员、《普通高中课程标准实验教科书数学》副主编章建跃教授，数学教学科研专家张生春教授，也有中学教研型专家知名特级教师连春兴、刘贵老师，有教学一线的衡水中学数学教科室主任褚艳春主任，还有学校教育管理方面的引领者石家庄一中校长、全国知名的课改专家娄延国博士、衡水中学分管德育的郗会所副校长、邯郸一中高三年级主任秦喆特级教师。

每一位专家、名优老师专业精湛，各有特色，各展风采。特别是王光明教授朴实、严谨学术特质，丰厚的数学底蕴让学员们心生敬意，他从刚参加完的新课标修订会给我们传达了新课标的主要精神将聚焦数学素养，要求学生逐步学会用数学的眼光看世界，以后高考的改革方向分3个层次：高中学业水平、高考水平、拓展水平，要求学生也要学会搞课题，学生也要撰写开题报告，另外他认为好的论文应该具备六有特征：有题而研（有研究的问题）、有基而研（有好的文献平台）；有理而研（关键概念界定清晰、理论框架要清晰）、有据而研（恰当的研究方法）、有思而述（新观点、思想、新认识）、有为而写（建议有推广价值）；连春兴老师从自己的工作经历，向我们叙说了从一名普通中学的老师到名校教师，直至成为全国知名特级教师过往历程，他的成名之道就是写作，他认为写作对教师成长有五大好处：写作能促进教师对教法的反思、写作能促进教师对教材的反思、写作能促进教师对技能成因的反思、写作能促进教师对易混问题的反思、写作有助于对学生认知基础的分析，对所授内容间逻辑关系的把握，对学生思维过程的合理预设，对教学目标达成的评估等。

章建跃教授作了题为《数学学习与智慧发展》的专题报告，既有高屋建瓴的顶层设计和理论指导，又有对具体典型案例的剖析和设计，让全体学员经历了一次头脑风暴的冲击，深深感受到了高中数学课程改革的必要性以及对高中教师专业能力提高的迫切性；张生春教授从传统的听评课与基于证据的听评课的案例、基于证据的听评课、如何开发工具三个方面具体阐述，并结合我们高中教学实际给出了具体真正意义上的其于证据的听评课做法；刘贵老师对数学高考、数学竞赛的独到见解、精辟领悟让人折服，也让我们感受了他对数学编题、解题的巧妙与灵动；秦喆老师作为一个年级部主任从如何关爱学生开设了题为《成就学生，做最优秀的自己！》专题讲座，他认为好父母都是学出来的，好孩子都是教出来的，好习惯都是养出来的，好成绩都是帮出来的，好沟通都是听出来的，好成绩是夸出来的，让我启发很大。当然，本次培训汇聚着各地优秀的学员，其出彩的课堂教学，丰满的数学讲座，娴熟的教学技术让学员们深受启发。

二、研讨交流充分有效

为了让全国各地学员有充分的交流和借鉴，本次培训还开展了以高中数学有效教学策略研讨和校本研修的组织与实施为主题的两次主题研讨，并分别到石家庄一中和衡水中学进行了两节课同课异构教学交流。两次主题研讨中各小组讨论充分，能围绕主题主动交流自己学校的做法，提出各自的见解，在校本研修的组织与实施主题研讨中，华师大附中周珂老师作为国内一流学校代表做了《兼收并蓄百花齐放》的主题发言，为了衬托他们的高、大、上，我作为山区县级学校代表做了《名师引领联动研修》的主题发言，主要介绍了我们学校成立名师工作室的做法和主要职责及职能，也引起了有类似情况学校教师的共鸣。另外为横向比较应试教育和素质教育的不同课堂表现，我们选派了素质教育贯彻得比较好的上海青浦中学一位女教师与我们认为应试教育重灾区衡水中学进行同课异构，发挥了全班同学的智慧打造了一节公开课和衡水中学的刘志云老师pK，总体而言，我们并没有感受到这两种课堂的明显差异，没有看到到我们原来想象中应试教育的课堂场景，整个课堂气氛活跃，学生回答问题和思考都积极主动，不做作，不作秀，课堂朴实但高效。

三、实地考察收获满满

为近距离感受名校的教改与校本研修的实施，国培办特别安排了我们在石家庄一中和衡水中学进行了为期两天的学习考察，其中石家庄一中呆了半天，衡水中学足足呆了一天半。两天的实地考察，让我们近距离感受到了ｘｘ省两所名校的校园文化和学校的精细管理，特别值得一提的是在衡水中学所见所闻给我的震撼：

1.视觉震撼

清北街。还不到校门，就看到道路两旁墙壁上的宣传榜，一张张学生的照片，全是20ｘｘ年的清华北大录取的学生，几乎占了老校区旁边的整条街，被当地人称为清北街。今年有119名学生被清华北大录取，17名考入香港大学等港校，72名学生被英国帝国理工学院，加拿大多伦多大学等国外名校录取。这种街道也许只有衡水才有，这种成绩着实让人震撼。

校园文化和班级文化。每个学校都有自己的文化建设，但是衡水中学的整个校园处处充满了文化建设，处处是文化教育的展台。路边的石头上刻着仁义礼智信，教学楼上刻着周恩来的为中华之崛起而读书，广场上刻着弟子规，宣传栏里是优秀学生的照片，能够建设橱窗的地方都竖起了不锈钢制造的漂亮的橱窗，里面的内容：激励、活动、感恩、优秀教师介绍、上级表彰、高考光荣榜、状元宣传照、学生话语、班级励志口号、班级门口的竞争口号在这个学校里处处都是文化，学生想不看都不行。教学楼旁边竖立的ｘｘ省高考状元、榜眼的图像天天在激励着他们，教学楼内的博士校友天天在鼓励着他们。教室门口是每个班的文化建设，班训，班级目标，优秀试卷，优秀作业，格言警句，班级挑战书每一个到过衡中的人，都会被弥漫在校园中的这种看不见的东西所感染，所震撼。

不可思议的跑操。衡水中学的早操和课间操真的是用语言无法言表。早晨5点30分学生起床后，只见宿舍楼里面开始蜂拥走出学生，出楼之后学生马上开始跑步前进。我看到他们的手里都还拿着一些东西，走近了一看，原来学生拿着卷子、书本以及各种手抄的资料。只见他们走到跑道上站好了就开始背书，一会儿跑道上的人越来越多，无一例外，都是到了操场就开始背书----原来他们是利用跑操前的一点时间在背书，真的是点滴时间都不浪费。队伍站好了，一声哨令，开始跑操，所有人紧贴着，间距很小，后面的人跑得脚正好插在前面同学的抬起的脚跟下面，步调完全一致，没有任何人跑错脚步。实际上只要一个人跑错了，这一排人都会倒下，但是跑得并不慢。班级之间的间距不变，绝对没有停下的现象。学生的口号震耳欲聋，而且都是励志的口号，并不是简单的1234，努力奋斗、拼搏进取、永争第一、舍我其谁等等的口号比比皆是。

自习、午休静悄悄。衡水中学老校区的校舍呈回字形，晚自习上课铃响10秒钟不到，整幢大楼没有任何的吵闹声，我们当时在场的50多位参观老师都觉得不可思议，但却真实展现在我们面前。自习课更是听不到、也看不到有学生在讨论、闲聊、打闹现象，所有学生都专心的做自己的事情。中午12点45分午休时间一到，整个宿舍区也如无人一般。

校园行人急。在校园里走的学生老师大都快步如飞，没人慢腾腾的走路，不像我们的学生天天在校园里像逛街一样。而且学生的手里要么拿着各种学习资料，要么空着手，可是我们的学生手里拿着的是饮料瓶、雪糕、点心。

2.制度震撼

衡中的管理制度非常严厉：学生全部寄宿学校，所有学生回家只准带牛奶、香蕉、苹果、桔子和饼干类点心，其他的不准带，否则回家一个周接受家长再教育；不准在食堂和宿舍以外的任何地方吃东西，否则回家一个周；不准带手机入校，否则回家一个月；男女同学非正常接触，回家一个月；学生打架，立即开除；学生谈恋爱，立即开除；学生不能跑操要有县级以上医院的证明经过班主任、年级主任、学校教育处干事、教育处主任等人的审核，最后由分管教育处的副校长批准，即便如此也还得到操场读书。若学生要返校，必须学生真正反思好，填写好反思表后，由家长领着学生过四关：一是到班主任处由班主任签字认可反思情况，二是到级部主任处签字，三是到分管校长处签字，四是到教育处盖章。如此严格繁琐的管理程序，肯定让违纪学生望而生畏，也许正是因为这样的管理制度，学生几乎没有违纪的，更不要说各种严重违纪的发生了，在衡中谁要是被处罚接受家长再教育那是很没有面子而且损失很大（七天以上不能听课）的事情，而且在衡中由于任何一个决定不是哪一个人说了算，所以没有情分面子会起到什么作用。据他们的副校长介绍，衡水市的市委书记在公开场合表态，如果介绍一两个学生进衡中没有问题，但如果在衡中因违纪要去说情，门儿都没有。在晚自习参观回来的路上还有一个小插曲，我们离开校园时，但门卫就是不让我们走，说是没有学校安保处的许可，虽然有一个衡中本校的带队老师与门卫交涉也不行。二十几分钟以后，有了安保出的通知，我们才得以离开。管中窥豹，可见一斑。

3.细节震撼

学生常规管理精细。据了解学校实行全封闭管理，所有学生（三个年段，每个年段60个班，每个班级80到100人不等）全部住校，上课时宿舍区和教学区隔绝（上锁）。学校制度、活动非常之多，且都有严格的规范要求。常规检查非常细致。仅从张贴的各种检查表就可看出：有讲科学、行规范、上水平教育实践活动公开栏，内容包括：风采展示台、不良行为曝光台；有男生楼、女生楼检查量化表，检查项目包括卫生、安全、物品排放等40余项，每天检查，每天公布；有学生会联查表、跑操检查公布表、自习和作业检查情况公布表；有《班执勤所查不文明行为汇总单》，记载的内容：跑步就餐、男女共餐、就餐插队、走廊长明灯等。

调研考试安排精细。据了解本学期高三安排了四次调研考试，一次期中考试，高一高二也至少三次调研考试。考试的组织非常严密细致。仅从宣传栏、走廊张贴物等就可略见一斑。调研考试前，对命题范围、题型与分值、考察内容都有明确的命题规定。学校专门制订了《衡水中学试题评价方案》，对试题比例、试题区分度、试题科学性、严密性及试题打印质量等都进行严格的评价。调研考试期间，有一张高三第二次调研考试活动安排表，何时上课、何时就餐、何时自习，精确到某一分钟；还发现有一张调研考试期间临时课程表，安排到每节课、每节自习。每次调研考试结束后工作做得更细，至少做好以下几点：一是评出优秀师徒（实际相当于师生成长共同体，教师评选先进时，学生都帮着给拉票）；二是评出红旗备课组、学科第一（教学业务系列分析评价）；三是评出双优班集体、优秀班主任（管理系列分析评价）；四是评出清华北大希望之星，评出理科状元、文科状元希望之星（尖子生情况分析）；五是对新老校区各段人数进行对比；六是对各学科系列排名变化进行对比；七是对各班成绩变化情况进行对比（以上内容全部在显眼位置张榜公布）.

教学细致。教师讲课非常细致，就是实验班的学生，进行一轮复习也是讲的极其细致，完全不因学生的基础较好而糊弄了事，真的做到了每一个知识点都不漏；教师给学生布置作业，更是分的很细，必做、选作、自助餐，怎么收、怎么批、怎么改、怎么讲都规定的详细的很；课程表安排的细，比如英语课，规定了哪一节是上新授课、听力课、自习课、讲评课，其他学科也是按照学科特点进行了相应的设置。

4. 德育震撼

培养学生坚强的意志。衡水中学从1984年至今，每年对高一学生进行军训，而且每次时间都长达ｘｘ天。除此之外，学校还要对高一新生进行一次80华里的远足活动，他们把这项活动称为砥砺意志的长征。80华里，对于很多孩子来说是一个极大的挑战，但没有人会退缩，也不允许请假。不难想象，有了这样的经历，这样的感悟的学生，对待困难、对待学习、对待未来会是怎样一种态度。

培养师生的竞争意识。衡水中学流传着这样一句口头禅：两眼一睁开始竞争，学生早晨起床ｘｘ分钟穿衣、收拾床铺、洗漱、整理卫生，然后到操场列队出操。这时学校开始检查宿舍卫生情况及早操情况。在这短短的时间里就包含了七个争：争起床速度(但不许提前，否则按违纪论)、争宿舍卫生的质量、争到操场列队的早晚、争早操队列是否整齐、争步伐是否整齐矫健、争口号是否响亮、争精神面貌是否朝气蓬勃。这里面既有速度的竞争又有质量的竞争。学生就在这种竞争之中开始了一天的学习与生活。早操之后，又是一系列的争：学生们跑着进教室，争的是提前进入自习状态，自习时争的是学习效率。学生与学生之间，宿舍与宿舍之间，小组与小组之间，班与班之间，年级与年级之间，凡是学校所提倡的，事事处处时时充满竞争。今天你超我，明天我超你，学生在竞争中不断实践着、诠释着追求卓越的校训。对老师，学校有师德报告会、班主任综合素质大赛、最受学生欢迎老师评选，十佳青年教师希望之星、与模范牵手、与好人同行、每学期全校教师宣誓等活动。对学生学校有一日行为规范、学生学习规范、每日三省十问、星级宿舍创建、每日收看新闻、班级挑战、日行一善，日积一语等常规活动和八十华里远足、十八岁成人礼、十大学星竞选、十佳班长竞选、十佳环保卫士竞选、十佳文明道德模范评选等主题活动。所有这些活动的最终目的是让衡中人达到超越优秀之上的一种至善至真至美的境界，使师生弘扬卓越的精神，造就卓越的品质，追求卓越的业绩，培养卓越的人才形成唯一必争、逢冠必夺、见优必取的意识。

说实话在去衡水中学之前，培训班的大多教师（包括我自已）对衡水中学都是带着抵触和偏见情绪，但学习考察完后，对衡水中学的管理和教学都重新定位，它一定是有过人之处，才能引领全国的高考，造成这么大的轰动！

总之，本次学习培训，不仅拓宽了我的视野，还丰富了我的实践经验，更让我的思想得到了升华，使我对数学教学有了更新的认识。刀不磨要生锈，人不学要落后，在今后的教学工作中，我会继续努力学习，钻研教学业务，我也相信在倾听、反思、实践中，我的教学之路会愈趋成熟，相信会做得更好。

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